1岡山大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$A,B,C$ の3人で次のルールに従って一連の試合を行い、優勝者を決定する。
・1試合目は $A$ と $B$ が戦う。
・自然数 $n$ に対し、$n+1$ 試合目は $n$ 試合目の勝者と $n$ 試合目に戦わなかった人が戦う。
・2連勝した人が出た時点で、その人が優勝者となり、以後試合は行わない。
・すべての試合において、引き分けはないものとする。
$A,B,C$ が互いに戦う際の勝率は次の通りとする。ただし、$p$ は $0<p<1$ を満たす実数とする。
・$A$ と $B$ の試合：勝つ確率は $A$ と $B$ のどちらも $\frac{1}{2}$ である。
・$A$ と $C$ の試合：$A$ が勝つ確率は $1-p$、$C$ が勝つ確率は $p$ である。
・$B$ と $C$ の試合：$B$ が勝つ確率は $1-p$、$C$ が勝つ確率は $p$ である。
$n$ 試合目で優勝者が決定する確率を $a_n$ とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) $a_1,a_2,a_3,a_4$ を求めよ。
(2) 自然数 $k$ に対し、$a_{3k}$ を求めよ。
(3) $C$ が優勝する確率を求めよ。
(4) 1以上99以下の自然数 $N$ に対し、$p=\frac{N}{100}$ であるとする。このとき $C$ が優勝する確率が $\frac{1}{3}$ 以上になるような $N$ の最小値を求めよ。