3徳島大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1) $x>0$ では
$$f'(x)=\frac{1-x}{2\sqrt x(1+x)^2}.$$
よって $0<x<1$ で増加、$x>1$ で減少する。$x=0$ での連続性も合わせ、$0\leqq x\leqq1$ で増加し $x\geqq1$ で減少。極大値は $f(1)=1/2$。また全域で非負なので全体の最小値は $f(0)=0$。

(2) $x=\tan^2t$ とおくと $dx=2\tan t/\cos^2t\,dt$、$1+x=1/\cos^2t$。従って
$$I_n=2\int_{\pi/4}^{\theta_n}\tan^2t\,dt=2[\tan t-t]_{\pi/4}^{\theta_n}=\boxed{2\sqrt n-2\theta_n-2+\pi/2}.$$

(3) $k\geqq1$ で
$$\frac{\sqrt k}{1+k}=\frac1{\sqrt k}-\frac1{\sqrt k(1+k)}.$$
右辺の和をそれぞれ $T_n,R_n$ とする。減少関数の積分と比較すると
$$0\leqq R_n\leqq\sum_{k=1}^nk^{-3/2}\leqq1+\int_1^nx^{-3/2}\,dx\leqq3,$$
$$2(\sqrt{n+1}-1)=\int_1^{n+1}x^{-1/2}\,dx\leqq T_n\leqq1+\int_1^nx^{-1/2}\,dx=2\sqrt n-1.$$
各式を $\sqrt n$ で割るとはさみうちにより $R_n/\sqrt n\to0$、$T_n/\sqrt n\to2$。よって
$$\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{\sqrt n}=2}.$$