2大阪公立大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1)

$\ell$ の定義式を
$$z=e^{-i\dfrac{\pi}{3}}\overline z$$
と書く。両辺に $e^{i\dfrac{\pi}{6}}$ を掛けると
$$e^{i\dfrac{\pi}{6}}z=e^{-i\dfrac{\pi}{6}}\overline z =\overline{e^{i\dfrac{\pi}{6}}z}$$
となる。複素数がその共役と等しいことは実数であることと同値だから、これは $e^{i\dfrac{\pi}{6}}z$ が実数であることを表す。従って、$\ell$は実数$t$を用いて
$$z=te^{-i\dfrac{\pi}{6}}$$
と表される点全体であり、原点を通り、実軸となす角が $-\dfrac{\pi}{6}$ の直線である。$z=x+iy$ とおけば、$e^{i\dfrac{\pi}{6}}z$ の虚部（$\dfrac{x+\sqrt3\,y}{2}$）が $0$ となる条件は
$$\dfrac{x+\sqrt3\,y}{2}=0, \qquad\text{すなわち}\qquad y=-\dfrac{x}{\sqrt3}$$
である。よって $\ell$ は直線である。

(2)

$\ell$ を実軸へ移す回転は、$w$ を $e^{i\dfrac{\pi}{6}}w$ に移す変換である。回転後の点を実軸について対称移動すると共役をとることになり、最後に元の向きへ回転を戻す。したがって対称な点は
$$e^{-i\dfrac{\pi}{6}}\overline{e^{i\dfrac{\pi}{6}}w} =e^{-i\dfrac{\pi}{3}}\overline w$$
である。

(3)

$\omega=e^{2\pi i/3}$ とおく。点1を中心とする回転で
$$z_1=1+\omega(z-1)=\omega z+1-\omega.$$
続く原点中心の回転では
$$z_2=\omega z_1=\omega^2z+\omega-\omega^2 =\omega^2z+i\sqrt3.$$
問2の対称移動を施すと
$$\begin{aligned} f(z) &=e^{-i\dfrac{\pi}{3}}\overline{z_2}\\ &=e^{-i\dfrac{\pi}{3}}(\omega\overline z-i\sqrt3)\\ &=e^{i\dfrac{\pi}{3}}\overline z-\dfrac32-\dfrac{\sqrt3}{2}i. \end{aligned}$$$$f(z)=e^{-i\frac{\pi }{3}}\overline{z_2}$$$$=e^{-i\frac{\pi }{3}}(\omega \overline{z}-i\sqrt{3})$$$$=e^{i\frac{\pi }{3}}\overline{z}-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i.$$

(4)

問3の式を代入すると、定数項が両辺で消えて
$$e^{i\dfrac{\pi}{3}}\overline z=-z$$
となる。$z=x+iy$ とおくと
$$\left(\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i\right)(x-iy)=-(x+iy).$$
実部を比較すれば $\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sqrt3\,y}{2}=-x$、すなわち $y=-\sqrt3\,x$ を得る。虚部の比較も $\dfrac{\sqrt3\,x}{2}-\dfrac{y}{2}=-y$、すなわち同じ条件となる。従って求める図形は原点を通る直線
$$\boxed{y=-\sqrt3\,x}$$
である。傾き $-\sqrt3$ の直線（原点を通る）を複素数平面に描けばよい。