3聖マリアンナ医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

接線の公式をまず求める。$C:y^2=2x$ 上の点 $\left(t^2/2,t\right)$ における接線は
$$ty=x+\frac{t^2}{2}$$
である。実際、この直線を放物線に代入すると $(y-t)^2=0$ となり、接する。

(1) $A,B$ に対応する $t$ はそれぞれ $3,1/2$ だから、接線は
$$3y=x+\frac92,\qquad \frac12y=x+\frac18.$$
連立して $P=(3/4,7/4)$ を得る。さらに
$$\overrightarrow{PA}=\left(\frac{15}{4},\frac54\right),\qquad \overrightarrow{PB}=\left(-\frac58,-\frac54\right).$$
内積は $-125/32$、長さの積は $125\sqrt2/32$ である。よって
$$\cos\angle APB=-\frac1{\sqrt2},\qquad\angle APB=\frac{3\pi}{4}.$$

(2) $A=\left(a^2/2,a\right)$、$B=\left(b^2/2,b\right)$ における接線は
$$aY=X+\frac{a^2}{2},\qquad bY=X+\frac{b^2}{2}.$$
$a>b$ より $a-b\ne0$ だから、差をとると $Y=(a+b)/2$。これを代入して $X=ab/2$ となる。従って $\text{ヨ}=ab,\ \text{ラ}=a+b$。

(3) $d=a-b>0$ とすると、(2)の $P$ からのベクトルは
$$\overrightarrow{PA}=\frac d2(a,1),\qquad \overrightarrow{PB}=-\frac d2(b,1).$$
従って
$$\cos\angle APB=-\frac{ab+1}{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}.$$
(1)と同じ角 $3\pi/4$ に保つ条件は
$$\frac{ab+1}{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}=\frac1{\sqrt2},\qquad ab+1>0.$$
$p=ab,\ s=a+b$ とおいて両辺を2乗し整理すると
$$2(p+1)^2=(a^2+1)(b^2+1)\quad\text{すなわち}\quad s^2=p^2+6p+1.$$
(2)から $X=p/2,Y=s/2$ なので
$$\left(X+\frac32\right)^2-Y^2=2, \qquad \frac{(X+3/2)^2}{2}-\frac{Y^2}{2}=1.$$
さらに $p>-1$ と $s^2\geqq0$ より $p^2+6p+1\geqq0$ である。したがって $p\geqq-3+2\sqrt2$、よって $X\geqq-\frac32+\sqrt2$。等号は $s=0$、$a=\sqrt2-1,b=1-\sqrt2$ のとき成立し、確かに $a>b$ で角の条件も満たす。逆に、この双曲線の右側の枝上の任意の点 $(X,Y)$ に対し、$p=2X$、$s=2Y$ とおく。
このとき $p\geqq-3+2\sqrt2>-1$ であり、二次方程式
$$z^2-sz+p=0$$
の判別式は
$$s^2-4p=p^2+2p+1=(p+1)^2>0$$
となる。従って異なる実数根を $a>b$ とすれば、$a+b=s$、$ab=p$ が成り立ち、(2)の交点は元の $(X,Y)$ となる。
さらに $ab+1=p+1>0$ なので、二乗前の角の式も成り立つ。よって右側の枝のすべての点が実現する。

軌跡は上の双曲線の右側の枝であり、原点中心の双曲線を $x$ 軸方向に $-3/2$ だけ平行移動したものである。従って $\text{リ}=\sqrt2-3/2,\ \text{ル}=2,\ \text{レ}=2,\ \text{ロ}=-3/2$。