5新潟大学 2022年 数学 第5問解答・解説

(1)
$$z\overline z+\overline\alpha z+\alpha\overline z+\alpha\overline\alpha =(z+\alpha)(\overline z+\overline\alpha).$$

(2)

$\alpha=1+i+\beta$ とおくと、与式は
$$|z+\alpha|^2=\beta+|\alpha|^2$$
と同値である。左辺と $|\alpha|^2$ は実数だから、解が存在するには $\beta$ が実数でなければならない。$\beta=b\quad(b\text{ は実数})$ とすると
$$\beta+|\alpha|^2=b+|1+i+b|^2 =b+(b+1)^2+1=(b+1)(b+2).$$
よって解が存在する条件は $(b+1)(b+2)\geqq0$、すなわち $b\leqq-2$ または $b\geqq-1$ である。逆にこの範囲では右辺は非負なので、中心 $-\alpha$、半径 $\sqrt{(b+1)(b+2)}$ の円（半径0の場合は一点）上に解 $z$ が存在する。従って求める $\beta$ の範囲は実軸上の
$$\beta\leqq-2\text{ または }\beta\geqq-1$$
である。

(3)

$w=z+\alpha$ とおくと
$$|w|=\sqrt{\beta^2+3\beta+2},\qquad |z|=|w-\alpha|\leqq |w|+|\alpha| =\sqrt{\beta^2+3\beta+2}+\sqrt{(\beta+1)^2+1}.$$
(2) と $|\beta|\leqq2$ より、可能な $\beta$ は $\beta=-2$ または $-1\leqq\beta\leqq2$ である。$\beta=-2$ のとき右辺は $\sqrt2$。一方、$-1\leqq\beta\leqq2$ では $t=\beta+1\ (0\leqq t\leqq3)$ とおくと右辺は
$$M(t)=\sqrt{t(t+1)}+\sqrt{t^2+1}.$$
二つの根号内はいずれも $t\geqq0$ で増加するから $M(t)$ は増加し、最大は $t=3$、すなわち $\beta=2$ で得られる。そのとき $|w|=2\sqrt3$、$|\alpha|=\sqrt{10}$ なので三角不等式の等号は $w$ が $-\alpha$ と同じ向きのとき成立する。具体的に
$$w=-\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt{10}}(3+i),\qquad z=w-(3+i)=-\left(1+\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt{10}}\right)(3+i).$$
したがって最大値は $\sqrt{10}+2\sqrt3$ であり、上記の $\beta,z$ で実現する。