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新潟大学／2022年度

2新潟大学 2022年 数学 第2問解答・解説

ベクトル

1問題

新潟大学2022年度第2問
座標空間の原点をOとし、3点A(2, 2, −2)\mathrm{A}(2,\,2,\,-2)、B(2, −2, 2)\mathrm{B}(2,\,-2,\,2)、C(−2, 2, 2)\mathrm{C}(-2,\,2,\,2)をとる。線分AB\mathrm{AB}を3:13:1に内分する点をD、線分AC\mathrm{AC}を3:13:1に外分する点をEとするとき、次の問いに答えよ。

(1) 2点D、Eの座標をそれぞれ求めよ。

(2) 点Fを直線DE\mathrm{DE}上の点とし、OF→\overrightarrow{\mathrm{OF}}とBC→\overrightarrow{\mathrm{BC}}のなす角θ\thetaがcos⁡θ=3714\cos\theta=\dfrac{3\sqrt{7}}{14}を満たすとき、点Fの座標を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    D(2,−1,1), E(−4,2,4).D(2,-1,1),\ E(-4,2,4).
  • (2)
    F(−2,1,3).F(-2,1,3).

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) AD:DB=3:1AD:DB=3:1 より
OD→=OA→+3OB→4=(2,2,−2)+3(2,−2,2)4=(2,−1,1). \overrightarrow{OD}=\frac{\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{4} =\frac{(2,2,-2)+3(2,-2,2)}{4}=(2,-1,1).
AE:EC=3:1AE:EC=3:1 の外分点 EE は AA から CC の方向へ 32\frac{3}{2} 倍進んだ点なので、
OE→=3OC→−OA→2=3(−2,2,2)−(2,2,−2)2=(−4,2,4). \overrightarrow{OE}=\frac{3\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}}{2} =\frac{3(-2,2,2)-(2,2,-2)}{2}=(-4,2,4).
(2) DE→=(−6,3,3)=3(−2,1,1)\overrightarrow{DE}=(-6,3,3)=3(-2,1,1) なので、
F=(2,−1,1)+t(−2,1,1)=(2−2t,−1+t,1+t). F=(2,-1,1)+t(-2,1,1)=(2-2t,-1+t,1+t).
BC→=(−4,4,0)\overrightarrow{BC}=(-4,4,0) であるから、
OF→⋅BC→=12(t−1),∣OF→∣=6t2−8t+6,∣BC→∣=42. \overrightarrow{OF}\cdot\overrightarrow{BC}=12(t-1),\qquad |\overrightarrow{OF}|=\sqrt{6t^2-8t+6},\qquad |\overrightarrow{BC}|=4\sqrt{2}.
cos⁡θ=3714>0\cos\theta=\frac{3\sqrt{7}}{14}>0 より t>1t>1 であり、
12(t−1)426t2−8t+6=3714. \frac{12(t-1)}{4\sqrt{2}\sqrt{6t^2-8t+6}}=\frac{3\sqrt{7}}{14}.
両辺を整理して二乗すると
2t2−5t+2=0,(2t−1)(t−2)=0. 2t^2-5t+2=0,\qquad (2t-1)(t-2)=0.
t>1t>1 より t=2t=2 なので、
F=(2−4,−1+2,1+2)=(−2,1,3). F=(2-4,-1+2,1+2)=(-2,1,3).

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 内分・外分の位置ベクトル
  • 媒介変数表示
  • 内積と長さで余弦条件を計算
  • 二乗後に元条件で根を選別

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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