1福井大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) $\alpha$ の範囲は中心 $1-i$、内半径1、外半径2の円環であるから、面積は $\pi(2^2-1^2)=3\pi$。

(2) $\overline\beta=-\beta$ より $\beta=iu$（$-1\leqq u\leqq0$）。条件 $|2\beta+i|\leqq1$ からこの範囲を得るので、$\beta$ は2点 $-i,0$ を結ぶ線分上を動く。円環の中心を $C=1-i$ とする。三角不等式から
$$|\alpha-\beta|\leqq|\alpha-C|+|C-\beta|\leqq2+\sqrt2.$$
最後の上界は $\beta=0$、$\alpha=C+2C/|C|=(1+\sqrt2)-(1+\sqrt2)i$ のとき等号となる。よって最大値は $2+\sqrt2$。

(3) $\gamma=s+it$ は円弧 $\gamma=1-i+e^{i\theta}$（$\pi/2\leqq\theta\leqq\pi$）を動く。$\beta=iu$（$-1\leqq u\leqq0$）なので、中点 $M=(x,y)=(\beta+\gamma)/2$ は
$$x=\frac{1+\cos\theta}{2},\qquad y=\frac{-1+u+\sin\theta}{2}.$$
$0\leqq x\leqq1/2$、$\sin\theta=2\sqrt{x(1-x)}$ であり、各xで
$$-1+\sqrt{x(1-x)}\leqq y\leqq-\frac12+\sqrt{x(1-x)}.$$
縦幅は $1/2$ なので面積は $\int_0^{1/2}\frac12\,dx=\frac14$。

αは円環、βは虚軸上の線分、γは指定された円弧である。三角不等式でαとβの最大距離を評価し、端点と外円上で等号を確認する。中点のx座標で円弧のパラメータを消去すると、各xに対するyの区間が得られ、その幅を積分して面積を求める。