6新潟大学 2022年 数学 第6問解答・解説

(1) $a_1=10>0$ であり、以下の漸化式からすべての $a_n>0$ である。点 $(a_n,a_n^2)$ での接線の傾きは $f'(a_n)=2a_n$ だから、法線の傾きは $-1/(2a_n)$ である。法線の式は
$$y-a_n^2=-\frac{1}{2a_n}(x-a_n).$$
これと $y=x^2$ の交点の $x$ 座標は
$$x^2-a_n^2=-\frac{x-a_n}{2a_n} \quad\text{すなわち}\quad (x-a_n)\left(x+a_n+\frac{1}{2a_n}\right)=0.$$
一方の交点は $x=a_n$、もう一方は $x=-a_n-\frac{1}{2a_n}$ なので
$$\boxed{a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2a_n}}.$$

(2) 漸化式を平方すると
$$a_{n+1}^2=a_n^2+1+\frac{1}{4a_n^2}\geqq a_n^2+1.$$
$a_1^2=100$ より帰納的に $a_n^2\geqq n+99$、したがって $a_n\geqq\sqrt{n+99}$ である。

上側を示すため $b_n=\sqrt{n+99}+1$、$g(t)=t+\frac1{2t}$ とおく。$a_n\geqq10$ であり、$t\geqq s\geqq10$ なら
$$g(t)-g(s)=(t-s)\left(1-\frac{1}{2st}\right)\geqq0$$
だから $g$ はこの範囲で増加する。また $m=n+99$ とすると
$$\sqrt{m+1}-\sqrt m =\frac{1}{\sqrt{m+1}+\sqrt m} \geqq \frac{1}{2(\sqrt m+1)},$$
ここでは $\sqrt{m+1}\leqq\sqrt m+1$ を用いた。ゆえに
$$g(b_n)=\sqrt{n+99}+1+\frac{1}{2(\sqrt{n+99}+1)} \leqq \sqrt{n+100}+1=b_{n+1}.$$
$a_1=10\leqq b_1=11$ であり、$a_n\leqq b_n$ なら
$a_{n+1}=g(a_n)\leqq g(b_n)\leqq b_{n+1}$ となるので、帰納法により
$a_n\leqq\sqrt{n+99}+1$。以上から
$$0\leqq a_n-\sqrt{n+99}\leqq1,$$
すなわち所望の絶対値の不等式が成り立つ。

(3) (2)の評価を $\sqrt n$ で割ると
$$\sqrt{1+\frac{99}{n}} \leqq\frac{a_n}{\sqrt n} \leqq\sqrt{1+\frac{99}{n}}+\frac{1}{\sqrt n}.$$
両端は $1$ に収束する（例えば
$\sqrt{1+99/n}-1=\frac{99/n}{\sqrt{1+99/n}+1}\to0$）。はさみうちにより
$$\boxed{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\sqrt n}=1}.$$