1京都府立医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

内分点を位置ベクトルで表して重心を示し、三角形の面積分割から面積比と最小値を求める。最後は3-4-5三角形を直交座標に置き、各頂点で隣り合う辺の内積が0となる条件を調べる。

(1) 点 $A,B,C$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ とする。内分の公式より
$$\overrightarrow{OD}=(1-t)\vec{b}+t\vec{c},\quad \overrightarrow{OE}=(1-t)\vec{c}+t\vec{a},\quad \overrightarrow{OF}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}.$$
したがって
$$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF} =\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}.$$
三角形の重心の位置ベクトルは頂点の位置ベクトルの平均だから、$\triangle DEF$ の重心の位置ベクトルは $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ であり、$\triangle ABC$ の重心と一致する。

(2) $D,E,F$ はそれぞれ辺の内点なので、$\triangle ABC$ は $\triangle DEF$ と3つの三角形 $AEF,BFD,CDE$ に分割される。$\triangle AEF$ と $\triangle ABC$ は頂点 $A$ の角を共有し、$AF=tAB,\ AE=(1-t)AC$ であるから
$$\frac{[AEF]}{S}=\frac{AF}{AB}\frac{AE}{AC}=t(1-t).$$
同様に、頂点 $B$ では $BF=(1-t)BA,\ BD=tBC$、頂点 $C$ では $CD=(1-t)CB,\ CE=tCA$ より
$$\frac{[BFD]}{S}=\frac{[CDE]}{S}=t(1-t).$$
よって
$$\frac{T}{S}=1-3t(1-t)=3t^2-3t+1 =3\left(t-\frac12\right)^2+\frac14.$$
$0<t<1$ の範囲に $t=\frac12$ が含まれるので、最小値は $\frac14$ である。

(3) $\angle BAC$ を $A$ とすると、余弦定理から
$$\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC} =\frac{3^2+4^2-5^2}{2\cdot3\cdot4}=0,$$
したがって $A=90^\circ$ である。$AB,AC$ を座標軸にとり、$A=(0,0), B=(3,0), C=(0,4)$ とおく。内分の公式から
$$D=(3(1-t),4t),\quad E=(0,4(1-t)),\quad F=(3t,0).$$
各頂点で隣り合う2辺の内積が $0$ となることが、そこで直角となる条件である。まず $D$ について
$$\overrightarrow{DE}=(-3(1-t),4(1-2t)),\quad \overrightarrow{DF}=(3(2t-1),-4t),$$
より
$$\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DF} =(1-2t)(9-25t).$$
したがって $D$ が直角となるのは $t=\frac12,\frac{9}{25}$ である。次に $E$ について
$$\overrightarrow{ED}=(3(1-t),4(2t-1)),\quad \overrightarrow{EF}=(3t,-4(1-t)),$$
より
$$\overrightarrow{ED}\cdot\overrightarrow{EF}=(1-t)(16-23t).$$
$0<t<1$ だから、$E$ が直角となるのは $t=\frac{16}{23}$ である。最後に $F$ について
$$\overrightarrow{FD}=(3(1-2t),4t),\quad \overrightarrow{FE}=(-3t,4(1-t)),$$
より
$$\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{FE}=t(7+2t)>0$$
となり、$F$ が直角となる値はない。(2)より $T/S=3(t-\frac12)^2+\frac14>0$ なので $\triangle DEF$ は退化せず、以上の条件で直角三角形となる。求める値は $t=\frac{9}{25},\frac12,\frac{16}{23}$ であり、いずれも $0<t<1$ を満たす。