2名古屋市立大学 2022年 数学 第2問解答・解説

内接円の半径を用いた三角形の面積比で内心の位置ベクトルを求める。直線 $\mathrm{IN}$ 上の点を媒介変数で表し、直線 $\mathrm{LM}$ 上にあるという条件から $\mathrm{P}$ を定める。最後に接線の長さが等しいことから $\mathrm{Q}$ を求め、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ の関係で同一直線上にあることを示す。

(1)

三角形 $\mathrm{OAB}$ の内接円の半径を $r$ とする。$\mathrm{I}$ から各辺までの距離はすべて $r$ である。$\overrightarrow{\mathrm{OI}}=x\overrightarrow{\mathrm{OA}}+y\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とおけば、同じ底辺に対する高さの比から
$$x=\dfrac{\triangle\mathrm{OIB}}{\triangle\mathrm{OAB}},\qquad y=\dfrac{\triangle\mathrm{OIA}}{\triangle\mathrm{OAB}}$$
となる。一方、$\triangle\mathrm{OAB}=\dfrac{(a+b+c)r}{2}$、$\triangle\mathrm{OIB}=\dfrac{br}{2}$、$\triangle\mathrm{OIA}=\dfrac{ar}{2}$ だから、$x=\dfrac{b}{a+b+c}$、$y=\dfrac{a}{a+b+c}$ である。したがって
$$\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{a}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{OB}}.$$

(2)

$\mathrm{L}$、$\mathrm{M}$、$\mathrm{N}$ の位置ベクトルは、それぞれ $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$、$\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)$ である。$\mathrm{P}$ は直線 $\mathrm{IN}$ 上にあるから、実数 $t$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OI}}+t\left(\overrightarrow{\mathrm{ON}}-\overrightarrow{\mathrm{OI}}\right) =\left(\dfrac{b}{a+b+c}+t\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{b}{a+b+c}\right)\right)\overrightarrow{\mathrm{OA}} +\left(\dfrac{a}{a+b+c}+t\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{a+b+c}\right)\right)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$
と表せる。直線 $\mathrm{LM}$ 上の点は、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の係数の和が $\dfrac{1}{2}$ である。よって点 $\mathrm{P}$ が直線 $\mathrm{LM}$ 上にあるとき
$$\dfrac{a+b}{a+b+c}+t\left(1-\dfrac{a+b}{a+b+c}\right)=\dfrac{1}{2},\qquad t=\dfrac{c-a-b}{2c}.$$
これを代入して係数を整理すると
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{(c-a-b)(a-b+c)}{4c(a+b+c)}\right)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\left(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{(c-a-b)(b-a+c)}{4c(a+b+c)}\right)\overrightarrow{\mathrm{OB}} =\dfrac{b+c-a}{4c}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{a+c-b}{4c}\overrightarrow{\mathrm{OB}}.$$

円への接線の長さは、同じ点から引けば等しい。$\mathrm{AQ}=x$、$\mathrm{BQ}=y$、頂点 $\mathrm{O}$ からの接線の長さを $z$ とすると、$x+y=c$、$x+z=a$、$y+z=b$ である。したがって $x=\dfrac{a+c-b}{2}$、$y=\dfrac{b+c-a}{2}$。点 $\mathrm{Q}$ は辺 $\mathrm{AB}$ を $\mathrm{AQ}:\mathrm{BQ}=x:y$ に内分するので
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\dfrac{y}{c}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{x}{c}\overrightarrow{\mathrm{OB}} =\dfrac{b+c-a}{2c}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{a+c-b}{2c}\overrightarrow{\mathrm{OB}}.$$
ゆえに $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$。よって $\mathrm{O}$、$\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$ は同一直線上にある（実際、$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{OQ}$ の中点である）。検算として、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ の係数の和は $\dfrac{1}{2}$、$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ の係数の和は $1$ であり、上の関係と整合する。