V防衛医科大学校 2023年 数学 第V問解答・解説

白玉の分配数は非負整数解 $w_A+w_B+w_C=3$ の個数 ${}_{5}\mathrm{C}_{2}=10$、黒玉の分配数は $b_A+b_B+b_C=6$ の個数 ${}_{8}\mathrm{C}_{2}=28$。色ごとの分配を独立に選ぶから総数は $10\cdot28=280$。

少なくとも1個の玉が入る箱がない場合、特定の箱を空にすると、白玉は残り2箱に4通り、黒玉は7通りなので28通り。空箱を1つ選ぶ場合を引き、2つの箱が空の場合（白黒とも残る1箱に入る1通り）を加える包除原理により
$$280-{}_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot28+{}_{3}\mathrm{C}_{2}\cdot1=199.$$

各箱で「白玉が2個以上または黒玉が2個以上」となる分配を数える。白玉の分配型は、(i) $(1,1,1)$、(ii) $(3,0,0)$ の並べ替え、(iii) $(2,1,0)$ の並べ替えに限られる。(i)では各箱に黒玉が2個ずつ必要で1通り。(ii)で白玉3個の箱を固定すると、他の2箱に黒玉が各2個以上となる黒玉分配数は、その2箱に2個ずつ先に入れ、残りの黒玉2個を3箱に分ける方法数 ${}_{4}\mathrm{C}_{2}=6$。(ii)の白玉配置は3通り。(iii)では白玉2個の箱を固定すると、残る2箱には黒玉が各2個以上必要で、残りの白玉1個をその2箱に置く方法は2通り。黒玉分配は各配置につき6通り。(iii)の白玉配置は6通り。従って
$$1+3\cdot6+6\cdot6=55.$$