IV防衛医科大学校 2023年 数学 第IV問解答・解説

防衛医科大学校 2023 数学・IV

問題の確認

異なる3点$P_1(z_1),P_2(z_2),P_3(z_3)$について

$$z_1^2+z_2^2-z_1z_2=0,\qquad |z_1|=\sqrt2,\qquad z_3=z_1+z_2$$

が与えられ、$|z_2|$と三角形$P_1P_2P_3$の面積を求める。

解答欄7： $|z_2|$

$|z_1|=\sqrt2$より$z_1\ne0$。$w=z_2/z_1$とおいて条件1を$z_1^2$で割ると

$$w^2-w+1=0, \qquad w=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}.$$

どちらの値も

$$|w|^2=\frac{1^2+(\sqrt3)^2}{2^2}=1$$

だから$|z_2|=|w||z_1|=\sqrt2$。よって

$$\boxed{|z_2|=\sqrt2}$$

であり、解答欄7の選択肢は$\boxed{1}$である。

解答欄8：三角形の面積

$z_1=x+iy$（$x,y$は実数）とおき、$\varepsilon=1$または$-1$とする。上の解から

$$z_2=\frac{1+\varepsilon i\sqrt3}{2}(x+iy) =\frac{x-\varepsilon\sqrt3y}{2} +i\frac{y+\varepsilon\sqrt3x}{2}.$$

したがって$z_2=x_2+iy_2$と書けば

$$x_2=\frac{x-\varepsilon\sqrt3y}{2},\qquad y_2=\frac{y+\varepsilon\sqrt3x}{2}.$$

$P_1=(x,y)$、$P_2=(x_2,y_2)$、$P_3=(x+x_2,y+y_2)$である。$P_1$を基準にした2辺の座標ベクトルは$(x_2-x,y_2-y)$と$(x_2,y_2)$。よって三角形の面積は座標面積公式により、

$$\begin{aligned} [\triangle P_1P_2P_3] &=\frac12\left|(x_2-x)y_2-(y_2-y)x_2\right|\\ &=\frac12|yx_2-xy_2|\\ &=\frac12|-(xy_2-yx_2)|. \end{aligned}$$$$[△P_1{P}_2{P}_3]=\frac{1}{2}\left|(x_2-x)y_2-(y_2-y)x_2\right|$$$$=\frac{1}{2}|y{x}_2-x{y}_2|$$$$=\frac{1}{2}|-(x{y}_2-y{x}_2)|.$$

ここで座標を代入すると

$$xy_2-yx_2 =\frac{x(y+\varepsilon\sqrt3x)-y(x-\varepsilon\sqrt3y)}2 =\frac{\varepsilon\sqrt3(x^2+y^2)}2.$$

$x^2+y^2=|z_1|^2=2$だから

$$[\triangle P_1P_2P_3]=\frac12\left|\varepsilon\sqrt3\right| =\boxed{\frac{\sqrt3}{2}}.$$

よって解答欄8の選択肢は$\boxed{3}$である。