III防衛医科大学校 2023年 数学 第III問解答・解説

防衛医科大学校 2023 数学・III

問題の確認

数列は

$$\left(\frac{1+5\sqrt3}{10}\right)^n=a_n+\sqrt3\,b_n\qquad(n=1,2,3,\ldots)$$

により定まり、$a_n,b_n$は有理数である。(1)は次項の線形表示の係数和$A+B+C+D$、(2)は$\sum_{i=1}^n a_i$の極限を求める。

(1) 係数の和

$$\alpha=\frac{1+5\sqrt3}{10}$$

とおくと、$\alpha^{n}=a_n+\sqrt3 b_n$より

$$\begin{aligned} a_{n+1}+\sqrt3 b_{n+1} &=\alpha(a_n+\sqrt3 b_n)\\ &=\frac{(1+5\sqrt3)(a_n+\sqrt3 b_n)}{10}\\ &=\frac{a_n+15b_n}{10} +\sqrt3\,\frac{5a_n+b_n}{10}. \end{aligned}$$$$a_{n+1}+\sqrt{3}{b}_{n+1}=\alpha (a_n+\sqrt{3}{b}_n)$$$$=\frac{(1+5\sqrt{3})(a_n+\sqrt{3}{b}_n)}{10}$$$$=\frac{a_n+15b_n}{10}+\sqrt{3}\frac{5a_n+b_n}{10}.$$

$1$と$\sqrt3$は有理数係数の一次関係を持たないため、係数を比較できる。よって

$$A=\frac1{10},\quad B=\frac{15}{10},\quad C=\frac5{10},\quad D=\frac1{10},$$

したがって

$$\boxed{A+B+C+D=\frac{22}{10}=\frac{11}{5}}.$$

解答欄5の選択肢は$\boxed{3}$である。

(2) $\sum_{i=1}^n a_i$ の極限

共役な数を

$$\beta=\frac{1-5\sqrt3}{10}$$

とおく。定義式の$\sqrt3$を$-\sqrt3$に置き換えた式は$\beta^n=a_n-\sqrt3 b_n$である。したがって

$$a_n=\frac{\alpha^n+\beta^n}{2}.$$

$75<81$より$5\sqrt3<9$、従って$0<\alpha<1$。また$1<5\sqrt3<11$より$-1<\beta<0$。したがって両方の等比級数は収束し、

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i =\frac12\left(\frac{\alpha}{1-\alpha}+\frac{\beta}{1-\beta}\right).$$

ここで

$$\alpha+\beta=\frac15,\qquad \alpha\beta=\frac{1-75}{100}=-\frac{37}{50}.$$

よって

$$\begin{aligned} \frac{\alpha}{1-\alpha}+\frac{\beta}{1-\beta} &=\frac{\alpha+\beta-2\alpha\beta}{1-(\alpha+\beta)+\alpha\beta}\\ &=\frac{\frac15+\frac{37}{25}}{1-\frac15-\frac{37}{50}}\\ &=\frac{42/25}{3/50}=28. \end{aligned}$$$$\frac{\alpha }{1-\alpha }+\frac{\beta }{1-\beta }=\frac{\alpha +\beta -2\alpha \beta }{1-(\alpha +\beta )+\alpha \beta }$$$$=\frac{\frac{1}{5}+\frac{37}{25}}{1-\frac{1}{5}-\frac{37}{50}}$$$$=\frac{42/25}{3/50}=28.$$

したがって

$$\boxed{\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=14},$$

解答欄6の選択肢は$\boxed{5}$である。