II防衛医科大学校 2022年 数学 第II問解答・解説

2次方程式 $x^{2}+ax+b=0$（$a,b$ は実数の定数）の異なる2解 $\alpha,\beta$ が、ある実数の定数 $c$ を用いて$$\alpha=\frac{\sqrt{c-1}+\sqrt{c+8}}{\sqrt{c-1}-\sqrt{c+2}},\qquad \beta=\frac{\sqrt{c-1}-\sqrt{c+8}}{\sqrt{c-1}+\sqrt{c+2}}$$と表されるとする。$\alpha=-3$ のとき、$a$ の値は $\boxed{3}$ であり、$c$ の値は互いに素である自然数 $m,n$ を用いて $\frac{n}{m}$ と表すことができる。このとき、$m$ と $n$ の和は $\boxed{4}$ となる。
解答番号3および4は、それぞれ次の選択肢から選ぶ。
解答番号3の選択肢： (1) $4$、(2) $5$、(3) $6$、(4) $7$、(5) $8$。
解答番号4の選択肢： (1) $17$、(2) $19$、(3) $21$、(4) $23$、(5) $25$。