III防衛医科大学校 2022年 数学 第III問解答・解説

[5]
$f_{3}(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|$ について、絶対値の中身の正負で場合分けすると次のようになる。
$$f_{3}(x)=\begin{cases} 6-3x & (x\leqq 1)\\ 4-x & (1\leqq x\leqq 2)\\ x & (2\leqq x\leqq 3)\\ 3x-6 & (3\leqq x) \end{cases}$$
$x\leqq 1$ と $1\leqq x\leqq 2$ では $f_{3}(x)$ は減少し、$2\leqq x\leqq 3$ と $3\leqq x$ では増加する。よって $f_{3}(x)$ は $x=2$ で最小となり、その最小値は $f_{3}(2)=1+0+1=2$ である。したがって [5] は選択肢 (2) の $2$ である。

[6]
奇数 $m$ を $m=2q+1$（$q$ は自然数）とおく。$j=1,\,2,\,\cdots,\,q$ のそれぞれについて、三角不等式より
$$|x-(q+1-j)|+|x-(q+1+j)|\geqq (q+1+j)-(q+1-j)=2j$$
が成り立つ。また $|x-(q+1)|\geqq 0$ である。$f_{m}(x)$ は $|x-(q+1)|$ と、各 $j$ の上の 2 項の和に分けられるので、
$$f_{m}(x)\geqq 2(1+2+\cdots+q)=q(q+1)$$
となる。$x=q+1$ のとき等号が成り立つから、$f_{m}(x)$ の最小値は $q(q+1)$ である。
最小値が30なので $q(q+1)=30$、すなわち $(q-5)(q+6)=0$。$q$ は自然数だから $q=5$、$m=2\cdot 5+1=11$ である。したがって [6] は選択肢 (3) の $11$ である。