5宮崎大学 2026年 数学 第5問解答・解説

(1) $2^2<7<3^2$ より $2<\sqrt7<3$ なので $[\sqrt7]=2$ である。また $5^2=25<28=(2\sqrt7)^2<36=6^2$ より $5<2\sqrt7<6$ であり，$[2\sqrt7]=5$。

(2) $r=\sqrt7$ とおく。各区間は $N=4$ なので $I_1$ は $0\leqq x<1/4$，$I_2$ は $1/4\leqq x<1/2$，$I_3$ は $1/2\leqq x<3/4$，$I_4$ は $3/4\leqq x<1$ の範囲である。
$$\begin{aligned} &b_0=0\in I_1,\\ &\frac52<r<\frac{11}{4}\quad\text{より}\quad \frac12< b_1=r-2<\frac34, \quad b_1\in I_3,\\ &\frac{21}{8}<r<\frac{11}{4}\quad\text{より}\quad \frac14< b_2=2r-5<\frac12, \quad b_2\in I_2,\\ &\frac{31}{12}<r<\frac83\quad\text{より}\quad \frac34< b_3=3r-7<1, \quad b_3\in I_4,\\ &\frac{21}{8}<r<\frac{43}{16}\quad\text{より}\quad \frac12< b_4=4r-10<\frac34, \quad b_4\in I_3. \end{aligned}$$$$b_0=0\in I_1,$$$$\frac{5}{2}<r<\frac{11}{4}\text{より}\frac{1}{2}<b_1=r-2<\frac{3}{4},b_1\in I_3,$$$$\frac{21}{8}<r<\frac{11}{4}\text{より}\frac{1}{4}<b_2=2r-5<\frac{1}{2},b_2\in I_2,$$$$\frac{31}{12}<r<\frac{8}{3}\text{より}\frac{3}{4}<b_3=3r-7<1,b_3\in I_4,$$$$\frac{21}{8}<r<\frac{43}{16}\text{より}\frac{1}{2}<b_4=4r-10<\frac{3}{4},b_4\in I_3.$$
これらの平方による比較は，それぞれ $25/4<7<121/16$，$441/64<7<121/16$，$961/144<7<64/9$，$441/64<7<1849/256$ から従う。

(3) $(x,y)=(8,3)$ とする。$31/12<\sqrt7<8/3$ なので
$$0<8-3\sqrt7<\frac14,$$
したがって $0<|x-y\sqrt7|<1/4$ を満たす。

(4) $0\leqq \ell\leqq N$ について，記号 $[\ell\alpha]$ の定義から $0\leqq b_\ell<1$ である。よって $N+1$ 個の数 $b_0,b_1,\ldots,b_N$ を $N$ 個の半開区間 $I_1,\ldots,I_N$ に入れると，各区間に1個以下しか入らないと全体が $N$ 個以下となってしまうため，同じ区間に入る $b_i,b_j$ がある。添字を $i<j$ とすると，同じ幅 $1/N$ の半開区間に属するので
$$0\leqq |b_j-b_i|<\frac1N.$$
ここで
$$y=j-i\geqq1,\qquad x=[j\alpha]-[i\alpha]$$
とおけば $x,y$ は整数であり，$b_j-b_i=y\alpha-x$ だから $|x-y\alpha|=|b_j-b_i|<1/N$ である。さらに $x-y\alpha\ne0$ である。もし $x-y\alpha=0$ なら $\alpha=x/y$ は有理数となり，$\alpha$ が無理数であることに反する。したがって
$$0<|x-y\alpha|<\frac1N.$$