4宮崎大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1) 三角形 $ABD$ に余弦定理を用いると、
$$BD^2=7^2+7^2-2\cdot7\cdot7\cos60^\circ=49$$
であるから、$BD=7$ となる。したがって、三角形 $ABD$ は正三角形である。

三角形 $BCD$ でも余弦定理を用いると、
$$\cos\angle BCD=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot3\cdot5}=-\frac12$$
となり、$\angle BCD=120^\circ$ である。対角線 $AC$ と $BD$ は $E$ で交わるので、$A,C$ は直線 $BD$ の反対側にある。また、
$$\angle BAD+\angle BCD=60^\circ+120^\circ=180^\circ$$
であるから、四角形 $ABCD$ は円に内接する。よって、$D$ は三角形 $ABC$ の外接円上にある。

(2) 座標を $B=(0,0)$、$D=(7,0)$ とし、$A$ を上側にとると、三角形 $ABD$ が正三角形であることから
$$A=\left(\frac72,\frac{7\sqrt3}{2}\right)$$
となる。$C=(x,y)$ とおくと、$C$ は直線 $BD$ の下側にあるので $y<0$ である。$BC=3$、$CD=5$ より
$$x^2+y^2=9,\qquad (x-7)^2+y^2=25$$
であり、両式の差から $x=33/14$ を得る。これを代入して $y^2=675/196$ となるから、
$$C=\left(\frac{33}{14},-\frac{15\sqrt3}{14}\right)$$
である。

直線 $AC$ の傾きは $4\sqrt3$ なので、その方程式は
$$y=4\sqrt3\left(x-\frac{21}{8}\right)$$
となる。したがって、直線 $BD$ との交点は $E=(21/8,0)$ である。直線 $AB$ の傾きは $\sqrt3$、直線 $DC$ の傾きは $3\sqrt3/13$ なので、$F$ を求める連立方程式は
$$y=\sqrt3\left(x-\frac{21}{8}\right),\qquad y=\frac{3\sqrt3}{13}(x-7)$$
である。これを解くと、
$$F=\left(\frac{21}{16},-\frac{21\sqrt3}{16}\right)$$
を得る。$F,C,D$ は一直線上にあり、その $x$ 座標は
$$\frac{21}{16}<\frac{33}{14}<7$$
であるから、$F,C,D$ はこの順に並ぶ。よって $F$ は円の外側にあり、$FC=FD-CD$ である。

距離の公式より、
$$FE=\sqrt{\left(\frac{21}{16}\right)^2+ \left(\frac{21\sqrt3}{16}\right)^2} =\frac{21}{8}, \qquad FD=\sqrt{\left(\frac{91}{16}\right)^2+ \left(\frac{21\sqrt3}{16}\right)^2} =\frac{49}{8}$$
となる。したがって、
$$FC=\frac{49}{8}-5=\frac98$$
である。(1)より $C,D$ は同じ外接円上にあり、$FG,FH$ はこの円の接線だから、方べきの定理より
$$FG^2=FH^2=FC\cdot FD =\frac98\cdot\frac{49}{8} =\frac{441}{64}=FE^2$$
となる。いずれも正の長さなので、
$$\boxed{FE=FG=FH=\frac{21}{8}}$$
が成り立つ。