III慶應義塾大学 2023年 数学 第III問解答・解説

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。
座標平面上の曲線 $y=\frac{1}{x^{2}}\ (x\neq0)$ を $C$ とする。$a_1$ を正の実数とし、点 $A_1\left(a_1,\frac{1}{a_1^{2}}\right)$ における $C$ の接線を $\ell_1$ とする。$\ell_1$ と $C$ の交点で $A_1$ と異なるものを $A_2\left(a_2,\frac{1}{a_2^{2}}\right)$ とする。次に、点 $A_2$ における $C$ の接線を $\ell_2$ とし、$\ell_2$ と $C$ の交点で $A_2$ と異なるものを $A_3\left(a_3,\frac{1}{a_3^{2}}\right)$ とする。以下同様にして $n=3,4,5,\cdots$ に対して、$A_n\left(a_n,\frac{1}{a_n^{2}}\right)$ における $C$ の接線を $\ell_n$ とし、$\ell_n$ と $C$ の交点で $A_n$ と異なるものを $A_{n+1}\left(a_{n+1},\frac{1}{a_{n+1}^{2}}\right)$ とする。
(1) $\frac{a_2}{a_1}=\boxed{\text{(あ)}}$ であり、$\frac{a_3}{a_1}=\boxed{\text{(い)}}$ である。
(2) $a_n$ を $a_1$ を用いて表すと $a_n=\boxed{\text{(う)}}$ であり、無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ の和 $T$ を $a_1$ を用いて表すと $T=\boxed{\text{(え)}}$ である。
(3) $a_1$ を正の実数すべてにわたって動かすとき、三角形 $A_1A_2A_3$ の重心が描く軌跡の方程式を $y=f(x)$ の形で求めると、$f(x)=\boxed{\text{(お)}}$ となる。
(4) 三角形 $A_1A_2A_3$ が鋭角三角形になるための条件は
$$\boxed{\text{(か)}}<a_1<\boxed{\text{(き)}}$$
である。
(5) $x$ 軸上に2点 $A_1'(a_1,0), A_2'(a_2,0)$ をとり、台形 $A_1A_2A_2'A_1'$ の面積を $S_1$ とする。また、点 $A_1$ から点 $A_3$ にいたる曲線 $C$ の部分、および線分 $A_3A_2$ と $A_2A_1$ で囲まれた図形の面積を $S_2$ とする。このとき、$S_1:S_2=\boxed{\text{(く)}}:\boxed{\text{(け)}}$ である。ただし $\boxed{\text{(く)}}$ と $\boxed{\text{(け)}}$ は互いに素な自然数である。