3九州大学 2026年 数学 第3問解答・解説

$q=1-r$ とおく。各硬貨投げは独立で、投げるたびに列の右端へ玉を追加する。

(1) $p_1$ では3回投げて最初の3個を黒にするので、3回とも裏である。$p_2$ で2〜4番目を黒にするには、1回目が裏で、続く3回も裏でなければならない。したがって
$$p_1=q^3=(1-r)^3,\qquad p_2=q^4=(1-r)^4.$$

(2) 1番目の玉が黒であるには1回目が裏である必要がある。その後にできる列の $(n-1),n,(n+1)$ 番目が黒となる確率は、定義から $p_{n-1}$ である。よって求める確率は
$$q p_{n-1}=(1-r)p_{n-1}.$$

(3) 最初の硬貨が裏なら、(2)より確率は $q p_{n-1}$ である。最初が表なら最初の2個は白になり、元の列の $n,n+1,n+2$ 番目は、残りの列の $(n-2),(n-1),n$ 番目にあたる。この事象は残りの硬貨の最初の $n$ 回で決まり、最後の1回はそれらより右側に玉を加えるだけなので、条件付き確率は $p_{n-2}$ である。したがって
$$p_n=q p_{n-1}+r p_{n-2} =(1-r)p_{n-1}+r p_{n-2}\qquad(n\geqq3).$$

(4) $d_n=p_n-p_{n-1}$ とおく。(3)から
$$d_n=r(p_{n-2}-p_{n-1})=-r d_{n-1}, \qquad d_2=p_2-p_1=-r q^3.$$
よって $d_n=q^3(-r)^{n-1}$ であり、
$$\begin{aligned} p_n&=p_1+\sum_{k=2}^{n}d_k =q^3+q^3\sum_{j=1}^{n-1}(-r)^j\\ &=\frac{q^3}{1+r}\bigl(1-(-r)^n\bigr). \end{aligned}$$$$p_n=p_1+\sum _{k=2}^n{d}_k=q^3+q^3\sum _{j=1}^{n-1}(-r{)}^j$$$$=\frac{q^3}{1+r}(1-(-r{)}^n).$$
したがって
$$\boxed{p_n=\frac{(1-r)^3}{1+r}\bigl(1-(-r)^n\bigr)}\qquad(n\geqq1).$$