II慶應義塾大学 2026年 数学 第II問解答・解説

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。ただし、空欄$\boxed{\text{え}}$、$\boxed{\text{く}}$、$\boxed{\text{け}}$には$n$の式を入れ、それ以外の空欄には数を入れなさい。袋が1つ、赤玉4個と白玉2個が用意されている。2個以上の玉が袋に入った状態に対して、操作Tの手順を次のように定める。　 操作T　 袋から玉を2個同時に取り出し、それらが2個とも赤玉である場合には袋に戻さず、それ以外の場合には2個とも袋に戻す。　 $n$を自然数とする。赤玉4個と白玉2個が袋に入った状態から始めて、操作Tを$n$回施し終えたときに、袋に入っている赤玉の個数を$a_n$とする。$a_n=4$である確率を$p_n$とし、$a_n=2$である確率を$q_n$とする。

(1) 次の関係式 $$p_{n+1}=\boxed{\text{あ}}p_n,\qquad q_{n+1}=\boxed{\text{い}}p_n+\boxed{\text{う}}q_n$$ が成り立つ。よって、$n$を用いて $$p_n=\boxed{\text{え}},\qquad q_n=\boxed{\text{お}}\left\{\left(\boxed{\text{か}}\right)^n-\left(\boxed{\text{き}}\right)^n\right\}$$ と表される。ただし、$\boxed{\text{か}}>\boxed{\text{き}}$ とする。したがって、赤玉4個と白玉2個が袋に入った状態から始めて、操作Tを$n$回施し終えたときに初めて袋の中の赤玉が0個になる確率は $\boxed{\text{く}}$ である。

(2) $X_n$を $$a_n=4\text{のとき }6,\qquad a_n=2\text{のとき }3.5,\qquad a_n=0\text{のとき }0$$ という値をとる確率変数とすると、$X_n$の期待値は $\boxed{\text{け}}$ であり、分散は $$3\left\{\boxed{\text{こ}}\left(\boxed{\text{さ}}\right)^n+\boxed{\text{し}}\left(\boxed{\text{す}}\right)^n+\boxed{\text{せ}}\left(\boxed{\text{そ}}\right)^n\right\}$$ である。ただし、$\boxed{\text{さ}}>\boxed{\text{す}}>\boxed{\text{そ}}$ とする。

(3) $N$を自然数とする。赤玉4個と白玉2個が袋に入った状態から始めて操作Tを$N$回施す。操作Tを$n$回（ただし、$1\leqq n\leqq N$）施し終えたときに初めて袋の中の赤玉が0個になった場合に、$2^{N-n}$点を得るというゲームを考える。ただし、操作Tを$N$回施し終えたときに、袋の中に赤玉が1個以上入っている場合の得点は0点とする。このゲームの得点の期待値は、$$\boxed{\text{た}}\left\{\left(\boxed{\text{ち}}\right)^N+\boxed{\text{つ}}\left(\boxed{\text{て}}\right)^N+\boxed{\text{と}}\left(\boxed{\text{な}}\right)^N\right\}$$ である。ただし、$\boxed{\text{ち}}>\boxed{\text{て}}>\boxed{\text{な}}$ とする。