4名古屋大学 2026年 数学 第4問解答・解説

$xy$ 平面上を次の規則 (i)、(ii) に従って移動する点 A を考える。

(i) 時刻 0 で点 A は原点にある。

(ii) ある時刻において点 A が $(x,\,y)$ にあるとき、時刻が 1 増えると点 A は 3 点 $(x+1,\,y)$、$(x+1,\,y+1)$、$(x,\,y+1)$ のいずれかにそれぞれ $\dfrac{1}{3}$ の確率で移動する。
1 以上の整数 $n$ に対して、次の条件 (*) が成り立つ確率を $P_{n}$ とする。
(*) 時刻 0 から時刻 $n$ まで点 A はつねに $-1\leqq y-x\leqq 1$ で定まる領域にある。
このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $P_{1}$、$P_{2}$、$P_{3}$ を求めよ。

(2) 1 以上の整数 $n$ に対して、条件 (*) が成り立ちかつ時刻 $n$ で点 A が直線 $y-x=0$ 上にある確率を $a_{n}$ とする。また、条件 (*) が成り立ちかつ時刻 $n$ で点 A が直線 $y-x=1$ 上または直線 $y-x=-1$ 上にある確率を $b_{n}$ とする。$a_{n+1}$、$b_{n+1}$ を $a_{n}$、$b_{n}$ を用いて表せ。

(3) $P_{n+2}$ を $P_{n+1}$、$P_{n}$ を用いて表せ。

(4) $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}$ とおくとき、$P_{n}\leqq\alpha^{n-1}$ が 1 以上のすべての整数 $n$ に対して成り立つことを証明せよ。