九州大学 2025年数学第3問解答・解説

1問題

九州大学2025年度第3問

【問題】以下の問いに答えよ。

(1)

n

を整数とするとき、

n^{2}

を8で割った余りは

0,1,4

のいずれかであることを示せ。

(2)

2^{m}=n^{2}+3

を満たす0以上の整数の組

(m,n)

をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$n$ を8で割った余りを $r$ とすると、 $n^{2}$ を8で割った余りは $r^{2}$ を8で割った余りに等しい。 $r=0,1,\cdots,7$ について $r^{2}$ を8で割った余りを調べると $0,1,4,1,0,1,4,1$ となるので、 $n^{2}$ を8で割った余りは $0,1,4$ のいずれかである。
(2)
$(m,n)=(2,1)$ のみ

解答を見る途中式つきの解答

(1) 偶数nを

n=2k

と書く。kが偶数なら

n^2\equiv0\pmod8

、kが奇数なら

n^2\equiv4\pmod8

。奇数nは

n=2k+1

と書け、

n^2=4k(k+1)+1\equiv1\pmod8

である（連続する2整数の積は偶数）。従って余りは0,1,4のいずれか。

(2)

m\geqq3

なら

n^2=2^m-3\equiv5\pmod8

となり(1)に反する。よって

m=0,1,2

のみを調べればよい。前二者では

n^2<0

で不可能。

m=2

なら

n^2=1

で、非負整数条件より

n=1

。これは元の式を満たすから

\boxed{(m,n)=(2,1)}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。