4九州大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1) $AD$ は直径なので、円周角の定理から $\angle ACD=90^\circ$。$AC=CD$ より三角形 $ACD$ は直角二等辺三角形で、$\angle CAD=45^\circ$。また $AB=BC$ から $\angle BAC=\angle ACB=\theta$ とおける。
四角形 $ABCD$ は円に内接するから
$$\angle DAB=45^\circ+\theta,\qquad \angle BCD=90^\circ+\theta,\qquad \angle DAB+\angle BCD=180^\circ.$$
よって $2\theta+135^\circ=180^\circ$、従って $\angle ACB=22.5^\circ$。

(2) $BC$ は中心角 $45^\circ$ に対する弦であり、半径は1だから
$$BC=2\sin22.5^\circ=\sqrt{2-\sqrt2}.$$

(3) 等しい弦は等しい弧を張る。弧 $AB=BC=\alpha$ とおくと弧 $AC$ は $2\alpha$、また $AC=CD$ より弧 $CD=2\alpha$。$A$ から $D$ まで $B,C$ を通る弧は半円なので $4\alpha=180^\circ$、すなわち $\alpha=45^\circ$。
円の中心を原点、$A=(0,1)$ と置くと
$$B=\left(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right),\quad C=(-1,0),\quad D=(0,-1).$$
直線 $AC$ は $y=x+1$、直線 $BD$ の傾きは $-(1+\sqrt2)$ である。これらを連立して
$$E=(\sqrt2-2,\sqrt2-1).$$
従って $CE=2-\sqrt2$。直線 $AC$ を $x-y+1=0$ と書くと、点 $B$ からこの直線までの距離は $(\sqrt2-1)/\sqrt2$。よって
$$[\triangle BCE] =\frac12(2-\sqrt2)\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2} =\frac{(\sqrt2-1)^2}{2} =\frac{3-2\sqrt2}{2}.$$