2藤田医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

連続する整数の偶奇と剰余を用いて(1)を示し、(2)では整数解と解と係数の関係から式を整数解の積に直して、$2$と$3$それぞれで場合分けする。

(1)

$n$を自然数とする。連続する整数$n,\,n+1$のうち少なくとも一つは偶数だから、$n(n+1)(n+2)$は$2$で割り切れる。また、$n,\,n+1,\,n+2$を$3$で割った余りは$0,\,1,\,2$のいずれかを一つずつとるので、この三つのうち一つは$3$の倍数である。したがって$n(n+1)(n+2)$は$3$で割り切れる。$2$と$3$は互いに素であるから、$n(n+1)(n+2)$は$6$で割り切れる。

(2)

方程式の二つの整数解を$r,\,s$とする（重解の場合は$r=s$とすればよい）。方程式は
$$x^{2}+ax+b=(x-r)(x-s)$$
と因数分解できるから、解と係数の関係より$a=-(r+s)$、$b=rs$である。よって
$$a^{2}b-8b-2b^{2} =rs\left((r+s)^{2}-8-2rs\right) =rs(r^{2}+s^{2}-8)$$
となる。右辺は整数の積なので整数である。

さらに、$r$または$s$が偶数なら$rs$は偶数である。両方が奇数なら$r^{2}+s^{2}-8$が偶数である。いずれの場合も$rs(r^{2}+s^{2}-8)$は$2$で割り切れる。
また、$r$または$s$が$3$の倍数なら$rs(r^{2}+s^{2}-8)$は$3$で割り切れる。どちらも$3$の倍数でない場合は、$r^{2}\equiv s^{2}\equiv1\pmod{3}$だから
$$r^{2}+s^{2}-8\equiv1+1-2\equiv0\pmod{3}$$
となり、やはり$rs(r^{2}+s^{2}-8)$は$3$で割り切れる。$2$と$3$は互いに素であるから、この整数は$6$の倍数である。