1大阪公立大学 2022年 数学 第1問解答・解説

問1では $F(x)=\log(1+x)-x+x^2/2$ とおくと、$F(0)=0$、$F'(x)=x^2/(1+x)\geqq0$。従って $\log(1+x)\geqq x-x^2/2$。また $G(x)=x-x^2/2+x^3/3-\log(1+x)$ とおくと、$G(0)=0$、$G'(x)=x^3/(1+x)\geqq0$。ゆえに
$$x-\frac{x^2}{2}\leqq\log(1+x)\leqq x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.$$

問2では、問1の不等式に $x=t/n$ を代入する。$t\geqq0$ を固定すると
$$\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3n}\leqq nt-n^2\log\left(1+\frac tn\right)\leqq\frac{t^2}{2}.$$
従って指数部は $t^2/2$ に収束し、
$$f(t)=\lim_{n\to\infty}e^{nt}\left(1+\frac tn\right)^{-n^2}=e^{t^2/2}.$$

問3で $f'(t)=t f(t)$。$0\leqq t\leqq90$ では単調増加なので
$$\int_0^{90}f(t)\,dt\leqq90e^{4050}.$$
また $90\leqq t\leqq100$ では $f(t)\leqq f'(t)/90$ だから
$$\int_{90}^{100}f(t)\,dt\leqq\frac{e^{5000}-e^{4050}}{90}<\frac{e^{5000}}{90}.$$
ここで $H(x)=e^x-1-x$ とおくと、$x\geqq0$ で $H(0)=0$、$H'(x)=e^x-1\geqq0$ だから $e^{475}>476$。両辺を二乗すれば
$$e^{950}>476^2=226576>10125=\frac{90\cdot225}{2},$$
従って $90e^{4050}<(2/225)e^{5000}$。そこで
$$\int_0^{100}f(t)\,dt<\left(\frac2{225}+\frac1{90}\right)e^{5000}=\frac1{50}e^{5000},$$
が得られる。

問1は二つの差を関数にして微分し、どちらも0以上の導関数を持つことから示せます。問2では問1の上下評価を$t/n$に適用し、指数全体を両側から挟むと極限が出ます。問3は区間を0〜90と90〜100に分けます。前半では増加性を使い、後半では$f'(t)=tf(t)$と$t\geqq90$から積分を$f$の端点差で上から押さえます。残った指数比較は$H(x)=e^{x}-1-x$の微分から$e^{475}>476$を示し、二乗して確かめます。