II東北医科薬科大学 2022年 数学 第II問解答・解説

(1) $\theta$ の決定

4つの点は円周上を順に反時計回りに並び、隣り合う点間の中心角はそれぞれ $\theta,2\theta,3\theta,4\theta$ である。これらで円周全体を一周するから

$$\theta+2\theta+3\theta+4\theta=2\pi.$$

よって $10\theta=2\pi$、すなわち

$$\boxed{\theta=\frac{\pi}{5}}.$$

(2) $w$ の満たす二次方程式

$\theta=\pi/5$ なので $z^5=-1$。また $|z|=1$ より $z^{-1}=\overline z$ であり、$w=z+z^{-1}=2\cos\theta>0$ は実数である。$T_n=z^n+z^{-n}$ とおくと

$$T_{n+1}=wT_n-T_{n-1},\qquad T_0=2,\quad T_1=w.$$

順に計算して

$$T_2=w^2-2,\quad T_3=w^3-3w,\quad T_4=w^4-4w^2+2,\quad T_5=w^5-5w^3+5w.$$

一方 $z^5=z^{-5}=-1$ だから $T_5=-2$。したがって

$$w^5-5w^3+5w+2=(w+2)(w^2-w-1)^2=0.$$

$w>0$ より $w\ne-2$ なので $w^2-w-1=0$。よって問題の $w^2+aw+b=0$ と係数を比較して

$$\boxed{a=-1,\quad b=-1}.$$

(3) $\cos\theta$ と $\cos3\theta$

(2) の正の解は $w=(1+\sqrt5)/2$ だから

$$\cos\theta=\frac{w}{2}=\frac{1+\sqrt5}{4}.$$

$c=\cos\theta$ とおくと $c^2=(3+\sqrt5)/8$。三倍角の公式から

$$\cos3\theta=4c^3-3c =c(4c^2-3) =\frac{1+\sqrt5}{4}\cdot\frac{\sqrt5-3}{2} =\frac{1-\sqrt5}{4}.$$

したがって

$$\boxed{\cos\theta=\frac{1+\sqrt5}{4},\quad \cos3\theta=\frac{1-\sqrt5}{4}}.$$

(4) $P_1P_2$ の距離

単位円上で中心角 $\angle P_1OP_2=2\theta$ に対する弦の長さは $L=2\sin\theta$。よって

$$L^2=4(1-\cos^2\theta) =4\left(1-\frac{3+\sqrt5}{8}\right) =\frac{5-\sqrt5}{2}.$$

したがって

$$\boxed{L^2=\frac{5-\sqrt5}{2}}.$$

(5) $\triangle P_2OP_3$ の面積

二辺 $OP_2,OP_3$ はともに $1$、その間の角は $3\theta$ だから、面積は $S=\frac12\sin3\theta$。また $\sin3\theta=\sin2\theta$ であり、

$$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1=\frac{\sqrt5-1}{4}.$$

したがって

$$S^2=\frac14\sin^2 3\theta =\frac14\left(1-\cos^2 2\theta\right) =\frac14\left(1-\frac{3-\sqrt5}{8}\right) =\frac{5+\sqrt5}{32}.$$

よって

$$\boxed{S^2=\frac{5+\sqrt5}{32}}.$$