3九州大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)

互いに素な整数

$210m^{2}$ は偶数なので $n^{4}=1+210m^{2}$ は奇数である。したがって $n$ は奇数である。$n=2k+1$ とおけば
$$\dfrac{n^{2}+1}{2}=2k^{2}+2k+1,\qquad \dfrac{n^{2}-1}{2}=2k(k+1)$$
はいずれも整数で、両者の差は $1$ である。よって互いに素である。

(2)

168 の倍数

$n=2k+1$ より
$$n^{2}-1=4k(k+1)$$
で、連続する 2 つの整数 $k$、$k+1$ の積は偶数だから、$n^{2}-1$ は $8$ で割り切れる。

$n^{4}\equiv1\pmod{3}$ である。従って $n$ は $3$ の倍数でなく、$n\equiv\pm1\pmod{3}$、ゆえに $n^{2}\equiv1\pmod{3}$ である。

$n^{4}\equiv1\pmod{7}$ である。剰余 $r=0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6$ に対して $r^{4}$ を 7 で割った余りは順に $0,\,1,\,2,\,4,\,4,\,2,\,1$ である。したがって $n\equiv1$ または $6\pmod{7}$ で、いずれも $n^{2}\equiv1\pmod{7}$ である。従って $n^{2}-1$ は $3$、$7$ で割り切れる。

$8$、$3$、$7$ は互いに素なので、$n^{2}-1$ は $168=8\cdot3\cdot7$ の倍数である。

(3)

一つの解

$m=116$、$n=41$ とすると
$$41^{2}=1681,\quad 41^{4}=1681^{2}=2{,}825{,}761$$
である。一方
$$1+210\cdot116^{2}=1+210\cdot13{,}456=2{,}825{,}761.$$
よって $n^{4}=1+210m^{2}$ を満たす自然数の組の一つは $(m,n)=(116,41)$ である。