4九州大学 2022年 数学 第4問解答・解説

（配点50点。）
定積分について述べた次の文章を読んで、後の問いに答えよ。
区間$a\leqq x\leqq b$で連続な関数$f(x)$に対して、$F'(x)=f(x)$となる関数$F(x)$を1つ選び、$f(x)$の$a$から$b$までの定積分を
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) \qquad\text{①}$$
で定義する。定積分の値は$F(x)$の選び方によらずに定まる。定積分は次の性質(A),(B),(C)をもつ。
$$\mathrm{(A)}\quad \int_a^b\{kf(x)+lg(x)\}\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx+l\int_a^b g(x)\,dx$$
$$\mathrm{(B)}\quad a\leqq c\leqq b\text{ のとき},\quad \int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx$$
$$\mathrm{(C)}\quad \text{区間 }a\leqq x\leqq b\text{ において }g(x)\geqq h(x)\text{ ならば},\quad \int_a^b g(x)\,dx\geqq\int_a^b h(x)\,dx$$
ただし、$f(x),g(x),h(x)$は区間$a\leqq x\leqq b$で連続な関数、$k,l$は定数である。
以下、$f(x)$を区間$0\leqq x\leqq1$で連続な増加関数とし、$n$を自然数とする。定積分の性質$\boxed{\text{ア}}$を用い、定数関数に対する定積分の計算を行うと、次の不等式
$$\frac{1}{n}f\left(\frac{i-1}{n}\right)\leqq\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)\,dx\leqq\frac{1}{n}f\left(\frac{i}{n}\right)\quad(i=1,2,\cdots,n) \qquad\text{②}$$
が成り立つことがわかる。 $\displaystyle S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f\left(\frac{i-1}{n}\right)$とおくと、不等式②と定積分の性質$\boxed{\text{イ}}$より次の不等式が成り立つ。
$$0\leqq\int_0^1 f(x)\,dx-S_n\leqq\frac{f(1)-f(0)}{n} \qquad\text{③}$$
よって、はさみうちの原理より$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\int_0^1 f(x)\,dx$が成り立つ。
(1) 関数$F(x),G(x)$が微分可能であるとき、
$$\{F(x)+G(x)\}'=F'(x)+G'(x)$$
が成り立つことを、導関数の定義に従って示せ。また、この等式と定積分の定義①を用いて、定積分の性質(A)で$k=l=1$とした場合の等式
$$\int_a^b\{f(x)+g(x)\}\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx$$
を示せ。
(2) 定積分の定義①と平均値の定理を用いて、次を示せ。$a<b$のとき、区間$a\leqq x\leqq b$において$g(x)>0$ならば、
$$\int_a^b g(x)\,dx>0$$

(3) (A),(B),(C)のうち、空欄アに入る記号として最もふさわしいものを1つ選び答えよ。また文章中の下線部の内容を詳しく説明することで、不等式②を示せ。
(4) (A),(B),(C)のうち、空欄イに入る記号として最もふさわしいものを1つ選び答えよ。また、不等式③を示せ。