1九州大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) $\vec n=(x,y,z)$とすると、垂直条件は
$$x+y=0,\qquad 2x+y+2z=0.$$
ゆえに$\vec n=x(1,-1,-1/2)$。単位長条件から$9x^2/4=1$、x成分正より
$\vec n=(2/3,-2/3,-1/3)$。
(2) 法線$\vec m=3\vec n=(2,-2,-1)$より平面は
$$\alpha:\ 2x-2y-z=0.$$
Pから垂線の足Hを$H=P+t\vec m$とおくと、平面条件より$9+9t=0$、したがって$H=(2,2,0)$。対称点は
$$P'=2H-P=(0,4,1).$$
(3) PとQは平面の同じ側にあり、P′は反対側にある。反射により、平面上の任意のRについて$PR=P'R$。よって$PR+RQ\geqq P'Q$で、等号は線分P′Qと平面の交点で成立する。線分を
$$X(t)=(4t,4-4t,1+4t)$$
とおいて平面式に代入すると$12t-9=0$、すなわち$t=3/4$。よって$R=(3,1,4)$、最小値は$|P'Q|=4\sqrt3$。