2九州大学 2022年 数学 第2問解答・解説

準備 $\alpha\neq\beta$ より $D(x):=(x-\alpha)(x-\beta)^{2}$ は最高次係数 $1$ の $3$ 次式である。

(1) の証明

$n\geqq 3$ であるから、整式の除法（多項式の割り算）により、$x^{n}$ を $D(x)$ で割ったときの商 $Q(x)$（$n-3$ 次式）と余り $R(x)$（$R(x)$ の次数は $2$ 以下（$R(x)=0$ の場合も含む））がただ一組存在して、恒等式
$$x^{n}=D(x)Q(x)+R(x)$$
が成り立つ。$R(x)$ は高々 $2$ 次であるから、実数 $p,q,r$ を用いて $R(x)=px^{2}+qx+r$ と書ける。

ここで
$$A(x-\alpha)(x-\beta)+B(x-\alpha)+C = Ax^{2}+[B-A(\alpha+\beta)]x+[C-B\alpha+A\alpha\beta]$$
であるから、これが $R(x)=px^{2}+qx+r$ と（$x$ についての恒等式として）一致するためには、$x^{2},x^{1},x^{0}$ の係数を比較して
$$A=p,\qquad B=q+p(\alpha+\beta),\qquad C=r+q\alpha+p\alpha^{2}$$
とすればよい。$p,q,r$ はすでに実数として存在しているので、この $A,B,C$ も実数として（それぞれ一意に）定まる。したがって
$$x^{n}=(x-\alpha)(x-\beta)^{2}Q(x)+A(x-\alpha)(x-\beta)+B(x-\alpha)+C$$
をみたす実数 $A,B,C$ と整式 $Q(x)$ が存在する。

(2) の解答

(1) により、ある実数 $A,B,C$ と整式 $Q(x)$ に対して、すべての実数 $x$ で
$$x^{n}=(x-\alpha)(x-\beta)^{2}Q(x)+A(x-\alpha)(x-\beta)+B(x-\alpha)+C$$
が成り立つ。この $A,B,C$ を具体的に求める。

[Cを求める]　 $(\ast)$ に $x=\alpha$ を代入すると、右辺の $(x-\alpha)$ を含む項はすべて消えて
$$\alpha^{n}=C,\qquad\text{すなわち}\qquad C=\alpha^{n}.$$

[B, Aを求める]　 $(\ast)$ において $x=\beta+t$（$t$ は任意の実数）とおく。$(\ast)$ はすべての実数 $x$ で成り立つ恒等式であるから、これは $t$ についての恒等式とみなせる。$x-\beta=t,\ x-\alpha=(\beta-\alpha)+t$ であるから、$(\ast)$ は
$$(\beta+t)^{n}=t^{2}[(\beta-\alpha+t)Q(\beta+t)]+A(\beta-\alpha+t)t+B[(\beta-\alpha)+t]+C$$
となる。右辺第 $1$ 項は $Q(\beta+t)$ が $t$ の整式であることから、$t^{2}\times(t\text{の整式})$ の形、すなわち $t^{0}$ と $t^{1}$ の係数はともに $0$ である。残りの項を整理すると、右辺の $t^{0},t^{1}$ の係数はそれぞれ
$$t^{0}:\ B(\beta-\alpha)+C,\qquad t^{1}:\ A(\beta-\alpha)+B$$
である。一方、二項定理により左辺は
$$(\beta+t)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\beta^{n-k}t^{k}=\beta^{n}+n\beta^{n-1}t+(t^{2}\text{以上の項})$$
であるから、両辺の $t$ についての整式としての係数を比較して
$$\beta^{n}=B(\beta-\alpha)+C \quad\cdots\text{(I)},\qquad n\beta^{n-1}=A(\beta-\alpha)+B \quad\cdots\text{(II)}$$
を得る（(I) は $x=\beta$ を直接代入した場合と同じ式である）。

(I) と $C=\alpha^{n}$ より、$\beta\neq\alpha$ に注意して
$$B=\dfrac{\beta^{n}-C}{\beta-\alpha}=\dfrac{\beta^{n}-\alpha^{n}}{\beta-\alpha}.$$
ここで、恒等式
$$\beta^{n}-\alpha^{n}=(\beta-\alpha)\sum_{j=0}^{n-1}\alpha^{j}\beta^{\,n-1-j}$$
が成り立つことは、右辺を展開すると
$$(\beta-\alpha)\sum_{j=0}^{n-1}\alpha^{j}\beta^{\,n-1-j} =\sum_{j=0}^{n-1}(\alpha^{j}\beta^{\,n-j}-\alpha^{j+1}\beta^{\,n-1-j})$$
の各項が隣り合う項と打ち消し合うことから、和が $\beta^{n}-\alpha^{n}$ に一致して確かめられる。したがって
$$B=\sum_{j=0}^{n-1}\alpha^{j}\beta^{\,n-1-j}=\beta^{n-1}+\alpha\beta^{n-2}+\cdots+\alpha^{n-1}.$$

次に (II) より
$$A=\dfrac{n\beta^{n-1}-B}{\beta-\alpha}.$$
$n\beta^{n-1}=\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}\beta^{n-1}$（同じ項を $n$ 個加えたもの）であるから、
$$n\beta^{n-1}-B=\sum_{j=0}^{n-1}(\beta^{n-1}-\alpha^{j}\beta^{\,n-1-j}) =\sum_{j=0}^{n-1}\beta^{\,n-1-j}(\beta^{j}-\alpha^{j}).$$
$j=0$ の項は $0$ であり、$1\leqq j\leqq n-1$ の項には、先ほどの項の相殺と同様の恒等式 $\beta^{j}-\alpha^{j}=(\beta-\alpha)\sum_{i=0}^{j-1}\alpha^{i}\beta^{\,j-1-i}$ を用いると、
$$n\beta^{n-1}-B=(\beta-\alpha)\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{i=0}^{j-1}\alpha^{i}\beta^{\,n-2-i}.$$
両辺を $\beta-\alpha$ で割って
$$A=\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{i=0}^{j-1}\alpha^{i}\beta^{\,n-2-i}.$$
この二重和で、$i$ を $0\leqq i\leqq n-2$ に固定すると、$j$ は $i+1\leqq j\leqq n-1$ の $n-1-i$ 個の値をとり、和の中身 $\alpha^{i}\beta^{\,n-2-i}$ は $j$ に無関係だから、和の順序を入れ替えて
$$A=\sum_{i=0}^{n-2}(n-1-i)\,\alpha^{i}\beta^{\,n-2-i}.$$
$k=n-2-i$ とおき直すと
$$A=\sum_{k=0}^{n-2}(k+1)\,\alpha^{\,n-2-k}\beta^{k} =\alpha^{n-2}+2\alpha^{n-3}\beta+3\alpha^{n-4}\beta^{2}+\cdots+(n-1)\beta^{n-2}.$$

以上より
$$\boxed{\,C=\alpha^{n},\qquad B=\sum_{j=0}^{n-1}\alpha^{j}\beta^{\,n-1-j}=\dfrac{\beta^{n}-\alpha^{n}}{\beta-\alpha},\qquad A=\sum_{k=0}^{n-2}(k+1)\alpha^{\,n-2-k}\beta^{k}=\dfrac{n\beta^{n-1}(\beta-\alpha)-(\beta^{n}-\alpha^{n})}{(\beta-\alpha)^{2}}\,}$$

（($D(x)=(x-1)(x-2)^2=x^3-5x^2+8x-4$)、($R(x)=5(x-1)(x-2)+7(x-1)+1=5x^2-8x+4$) だから ($x^3=D(x)+R(x)$)。この場合の商は ($Q(x)=1$)、余りは (R(x)) である。）

(3) の解答

$n,\alpha$ を固定するとき、(2) で得た
$$A=\sum_{k=0}^{n-2}(k+1)\,\alpha^{\,n-2-k}\beta^{k}$$
は $\beta$ の整式（多項式）であり、$\beta$ の整式は実数全体で連続な関数である。したがって $\beta\to\alpha$ のときの極限値は、この整式に $\beta=\alpha$ を代入した値に等しい：
$$\lim_{\beta\to\alpha}A=\sum_{k=0}^{n-2}(k+1)\,\alpha^{\,n-2-k}\alpha^{k} =\alpha^{n-2}\sum_{k=0}^{n-2}(k+1).$$
ここで
$$\sum_{k=0}^{n-2}(k+1)=1+2+\cdots+(n-1)=\dfrac{(n-1)n}{2}$$
（初項 $1$、公差 $1$、項数 $n-1$ の等差数列の和）であるから、
$$\boxed{\ \lim_{\beta\to\alpha}A=\dfrac{n(n-1)}{2}\,\alpha^{\,n-2}\ }$$
を得る。