3京都大学 2025年 数学 第3問解答・解説

$e$ は自然対数の底とする。$x>\frac{1}{\sqrt{e}}$ において定義された次の関数 $f(x),g(x)$ を考える。
$$f(x)=x^2\log x,\qquad g(x)=x^2\log x-\frac{1}{1+2\log x}$$
実数 $t$ は $t>\frac{1}{\sqrt{e}}$ を満たすとする。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t,f(t))$ における接線に垂直で、点 $(t,g(t))$ を通る直線を $l_t$ とする。直線 $l_t$ が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $p(t)$ とする。$t$ が $\frac{1}{\sqrt{e}}<t\leqq e$ の範囲を動くとき、$p(t)$ の取りうる値の範囲を求めよ。