4京都大学 2025年 数学 第4問解答・解説

O を始点として、位置ベクトルを $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ の一次結合で表した。平面 LMN の式を $\frac1s,\frac1t,\frac1u$ で整理し、それが任意に動くことから係数を比べて、共通点の存在と一意性を示した。体積比は、底面 ABC を共通として高さの比で求めた。

(1)　 $\overrightarrow{OA}$=$\vec{a}$,\ $\overrightarrow{OB}$=$\vec{b}$,\ $\overrightarrow{OC}$=$\vec{c}$ とおく。4点 O,A,B,C は同一平面上にないので、$\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$ は一次独立である。したがって、任意の点 X はただ一通りに
$$\overrightarrow{OX}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$$
と表される。

L=s$\vec{a}$,\ M=t$\vec{b}$,\ N=u$\vec{c}$ であり、s,t,u はいずれも 0 ではない。よって L,M,N は一次独立で、平面 LMN は
$$\frac{x}{s}+\frac{y}{t}+\frac{z}{u}=1$$
で表される。

$\alpha$=$\frac1s$,\ $\beta$=$\frac1t$,\ $\gamma$=$\frac1u$ とおくと、条件は $\alpha$+2$\beta$+3$\gamma$=4 となる。共通点 P の座標を $\overrightarrow{OP}$=p$\vec{a}$+q$\vec{b}$+r$\vec{c}$ とすると、P がすべての平面 LMN 上にあるための条件は
$$p\alpha+q\beta+r\gamma=1$$
が、$\alpha$,$\beta$,$\gamma$$\ne$0 かつ $\alpha$+2$\beta$+3$\gamma$=4 を満たすすべての組で成り立つことである。

$\gamma$=$\frac{4-\alpha-2\beta}{3}$ を代入すると
$$\left(p-\frac r3\right)\alpha+\left(q-\frac{2r}{3}\right)\beta+\frac{4r}{3}=1.$$
ここで $\alpha$,$\beta$ は $\alpha$$\ne$0,\ $\beta$$\ne$0,\ $\alpha$+2$\beta$$\ne$4 の範囲で任意に動く。この範囲は平面上に開いた領域を含むので、上の一次式が常に 1 であるためには
$$p-\frac r3=0,\qquad q-\frac{2r}{3}=0,\qquad \frac{4r}{3}=1$$
でなければならない。したがって p=$\frac14$,\ q=$\frac12$,\ r=$\frac34$ である。

実際、この座標をもつ点 P については、任意の条件を満たす $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ に対し
$$p\alpha+q\beta+r\gamma=\frac{\alpha+2\beta+3\gamma}{4}=1$$
となるから、P はすべての平面 LMN 上にある。また、すべての平面に共通する点の座標は上の連立条件からこの一通りに定まる。よって、そのような点 P はただ一つであり、
$$\overrightarrow{OP}=\frac14\overrightarrow{OA}+\frac12\overrightarrow{OB}+\frac34\overrightarrow{OC}$$
である。

(2)　 (1) で求めた式より
$$\overrightarrow{OP}=\frac32\overrightarrow{OG},\qquad \overrightarrow{OG}=\frac16\overrightarrow{OA}+\frac13\overrightarrow{OB}+\frac12\overrightarrow{OC}$$
を満たす点 $G$ を考える。係数の和 $\frac16+\frac13+\frac12=1$ より、$G$ は底面 ABC 上にある。したがって、直線 OP は底面 ABC と点 $G$ で交わり、$G$ は線分 OP 上にある。$\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OG}=\frac12\overrightarrow{OG}$ より、$OG:GP=2:1$ である。
底面 ABC からの高さは、直線 OP 上で $G$ からの距離に比例する。よって、P と O の底面 ABC からの高さの比は $GP:OG=1:2$ である。
底面 ABC は共通なので、四面体の体積の比は高さの比に等しく、
$$\frac{\text{四面体 }PABC\text{ の体積}}{V}=\frac12.$$
よって、四面体 PABC の体積は $\frac V2$ である。