1広島大学 2025年 数学 第1問解答・解説

導関数の符号から最大値を確定し、部分積分で対数関数の原始関数を導く。最後は曲線の上下関係とx軸との交点から回転領域を分け、円板・円環の断面積を積分する。

(1) $x>0$ に対して
$$f(x)=(\log x)x^{-1/2}$$
であるから、積の微分により
$$f'(x)=\frac{1}{x}x^{-1/2}-\frac12(\log x)x^{-3/2} =\frac{2-\log x}{2x^{3/2}}.$$
分母は正なので、$0<x<e^2$ では $f'(x)>0$、$x>e^2$ では $f'(x)<0$ となる。したがって $f$ は $x=e^2$ で最大となり、
$$f(e^2)=\frac{2}{e}.$$
最大値は $\displaystyle \frac{2}{e}$ である。

(2) いずれも $x>0$ で積分する。部分積分により
$$\int\log x\,dx=x\log x-\int 1\,dx=x\log x-x+C.$$
次に、もう一度部分積分すると
$$\int(\log x)^2\,dx=x(\log x)^2-2\int\log x\,dx =x\bigl((\log x)^2-2\log x+2\bigr)+C.$$

(3) (1)より $a=2/e$ である。また全ての $x>0$ について
$$\frac{\log x}{\sqrt{x}}\leqq a,$$
等号は $x=e^2$ のときに限る。よって $C_1$ は $C_2$ の上側にあり、両曲線は $(e^2,2)$ で接する。$C_2$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わり、$0<x<1$ では $x$ 軸の下側、$x>1$ では上側にある。一方、$C_1$ は $x=0$ で $x$ 軸と交わる。したがって囲まれた図形は、$0\leqq x\leqq1$ では $x$ 軸と $C_1$ の間、$1\leqq x\leqq e^2$ では $C_2$ と $C_1$ の間にある。

これを $x$ 軸のまわりに回転すると、$0\leqq x\leqq1$ では外半径 $a\sqrt{x}$、内半径 $0$ の円板、$1\leqq x\leqq e^2$ では外半径 $a\sqrt{x}$、内半径 $\log x$ の円環となる。よって
$$\begin{aligned} V&=\pi\int_0^1(a\sqrt{x})^2\,dx +\pi\int_1^{e^2}\bigl((a\sqrt{x})^2-(\log x)^2\bigr)\,dx\\ &=\pi\left\{a^2\int_0^{e^2}x\,dx-\int_1^{e^2}(\log x)^2\,dx\right\}. \end{aligned}$$$$V=\pi {\int }_0^1(a\sqrt{x}{)}^{2}dx+\pi {\int }_1^{e^2}((a\sqrt{x}{)}^2-(\log x{)}^2)dx$$$$=\pi \left\{a^2{\int }_0^{e^2}xdx-{\int }_1^{e^2}(\log x{)}^{2}dx\right\}.$$
ここで $a^2=4/e^2$ なので
$$a^2\int_0^{e^2}x\,dx=\frac{4}{e^2}\cdot\frac{e^4}{2}=2e^2.$$
(2)の原始関数を用いると
$$\int_1^{e^2}(\log x)^2\,dx =\left[x\bigl((\log x)^2-2\log x+2\bigr)\right]_1^{e^2} =2e^2-2.$$
したがって
$$V=\pi\{2e^2-(2e^2-2)\}=2\pi.$$