2広島大学 2025年 数学 第2問解答・解説

$a>0$ とし、$p$ を実数とする。
座標平面上の3点
$$A(0,a),\quad B(-1,0),\quad C(1,0)$$
を考える。
点 $P_{n},Q_{n},R_{n}\ (n=1,2,3,\cdots)$ が以下の二つの条件を満たすとする。
(i) 点 $P_{1}$ は直線 $AB$ 上にあり、$x$ 座標が $p$ である。
(ii) 自然数 $n$ に対し、
・点 $P_{n}$ から $x$ 軸に下ろした垂線と $x$ 軸との交点が $Q_{n}$ である。ただし、点 $P_{n}$ が $x$ 軸上にあるときは、点 $Q_{n}$ は $P_{n}$ と同じ点であるとする。
・点 $Q_{n}$ から直線 $AC$ に下ろした垂線と直線 $AC$ との交点が $R_{n}$ である。ただし、点 $Q_{n}$ が直線 $AC$ 上にあるときは、点 $R_{n}$ は $Q_{n}$ と同じ点であるとする。
・点 $R_{n}$ を通り $x$ 軸と平行な直線と直線 $AB$ との交点が $P_{n+1}$ である。
点 $P_{n}$ の $x$ 座標を $x_{n}$ とする。次の問いに答えよ。
(1) 点 $R_{1}$ の座標を $a,p$ を用いて表せ。
(2) 命題「点 $P_{1}$ が線分 $AB$ 上にあるならば、点 $R_{1}$ は線分 $AC$ 上にある」が真であるような $a$ の値の範囲を求めよ。ただし、線分は両端を含むものとする。
(3) $x_{n}$ を $a,n,p$ を用いて表せ。
(4) $a=2,\ p=0$ であるとき、不等式$$\left|x_{n+1}-x_{n}\right|<10^{-10}$$
を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10}2=0.3010$ とする。