3神戸大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)

$f'(x)=\dfrac{2x}{1+x^{2}}-2ax=\dfrac{2x\{1-a(1+x^{2})\}}{1+x^{2}}$ である。$r=\sqrt{\dfrac{1-a}{a}}$ とおくと、$f'(x)=0$ となるのは $x=-r,\,0,\,r$ である。
$1+x^{2}>0$ なので、$f'(x)$ の符号は $x\{1-a(1+x^{2})\}$ の符号と同じである。よって、$x<-r$ で正、$-r<x<0$ で負、$0<x<r$ で正、$x>r$ で負となる。したがって、$x=0$ で極小、$x=\pm r$ で極大となる。
$$f(0)=0,\qquad f(\pm r)=\log\left(1+\dfrac{1-a}{a}\right)-a\cdot\dfrac{1-a}{a}=-\log a-(1-a)$$
であるから、極小値は $0$、極大値は $-\log a-1+a$ である。なお、$|x|\to\infty$ で $f(x)\to-\infty$ なので、実数全体での最小値はない。

(2)

$f(1)=0$ より $a=\log 2$ である。$t=x^{2}$ とし、$h(t)=\log(1+t)-t\log 2$ とおくと、$f(x)=h(x^{2})$ である。$h(0)=h(1)=0$ かつ $h''(t)=-\dfrac{1}{(1+t)^{2}}<0$ なので、$0<t<1$ では $h(t)>0$ となる。
$t\geqq 1$ では $h'(t)=\dfrac{1}{1+t}-\log 2\leqq\dfrac{1}{2}-\log 2<0$ である（$\log 2=\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{du}{u}>\dfrac{1}{2}$）。したがって $t>1$ では $h(t)<0$ である。ゆえに、曲線と $x$ 軸が囲むのは $-1\leqq x\leqq 0$ と $0\leqq x\leqq 1$ に対応する二つの部分である。$f$ は偶関数なので、面積の合計 $S$ は
$$S=2\displaystyle\int_{0}^{1}\{\log(1+x^{2})-x^{2}\log 2\}\,dx.$$
部分積分により
$$\int\log(1+x^{2})\,dx=x\log(1+x^{2})-2x+2\theta$$
であるから、ここで $\theta$ は $\tan\theta=x$、$-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ を満たす角である。$x=1$ では $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ なので、
$$S=2\left\{\left(\log 2-2+\dfrac{\pi}{2}\right)-\dfrac{\log 2}{3}\right\}=\pi-4+\dfrac{4}{3}\log 2.$$