4神戸大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)
直線を双曲線へ代入すると
$$(1-a)x^2-2ax-(a+4)=0.$$
$a=1$ ならば $-2x-5=0$ であり、交点は1点だけ。$a\ne1$ ではこの式は二次方程式で、その判別式は
$$D=4a^2+4(1-a)(a+4)=4(4-3a).$$
異なる2交点の条件は $D>0$。もともと $a>0$ なので
$$\boxed{0<a<\frac43,\quad a\ne1}.$$

(2)
交点の $x$ 座標を $x_P,x_Q$ とすると、解と係数の関係より
$$x_P+x_Q=\frac{2a}{1-a}.$$
したがって中点の第1座標は $s=a/(1-a)$。また直線上で $y=\sqrt a(x+1)$ は $x$ の一次式だから、中点の第2座標は
$$t=\frac{\sqrt a(x_P+1)+\sqrt a(x_Q+1)}2 =\sqrt a(s+1)=\frac{\sqrt a}{1-a}.$$
ゆえに
$$\boxed{s=\frac{a}{1-a},\quad t=\frac{\sqrt a}{1-a}}.$$

(3)
$$0<a<1\quad\text{すなわち}\quad s=\frac{a}{1-a}>0,$$
実際、任意の $s>0$ から $0<a=s/(s+1)<1$ が得られる。一方、
$$1<a<\frac43\quad\text{すなわち}\quad s=\frac{a}{1-a}<-4,$$
逆に $s<-4$ に対して $a=s/(s+1)$ は $1<a<4/3$ を満たす。したがって
$$\boxed{s<-4\ \text{または}\ s>0}.$$

(4)
$s=a/(1-a)$ より $a=s/(s+1)$ および $1-a=1/(s+1)$ だから
$$t=(s+1)\sqrt{\frac{s}{s+1}}.$$
$s>0$ では $s+1>0$、$s<-4$ では $s+1<0$ である。従って符号も指定すると
$$\boxed{t=\begin{cases} \sqrt{s(s+1)}&(s>0),\\ -\sqrt{s(s+1)}&(s<-4). \end{cases}}$$