4金沢医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(4)

点 $D(2,1)$ が①上にあるから
$$2=1-a+b,\qquad b=a+1.$$
また②上にあるから $1=4/(2+c)$、従って $c=2$。
①を $x=x(y)$ と見ると、Dにおける接線方向ベクトルは
$(2-a,1)$。②の傾きは
$$y'=-\frac{c+6}{(x+c)^2}$$
なのでDで $-1/2$、その接線方向ベクトルは $(1,-1/2)$。
直交条件より
$$(2-a,1)\cdot(1,-1/2)=0,$$
したがって $a=3/2,\ b=5/2,\ c=2$。
①を平方完成すると
$$\left(y-\frac a2\right)^2=x-\left(b-\frac{a^2}{4}\right).$$
標準形 $(y-k)^2=4p(x-h)$ と比べて
$h=31/16,\ k=3/4,\ p=1/4$ だから
$$F=\left(\frac{35}{16},\frac34\right).$$
よって
$$[ODF]=\frac12\left|2\cdot\frac34-1\cdot\frac{35}{16}\right| =\frac{11}{32}.$$
②のDでの接線③は
$$y-1=-\frac12(x-2),\qquad y=-\frac12x+2.$$
①を $x$ の式で書くと
$x=y^2-\frac32y+\frac52$。③は $x=4-2y$ だから交点は
$$y^2+\frac12y-\frac32=0 \quad\text{すなわち}\quad (y-1)(2y+3)=0.$$
従って交点の $y$ 座標は $-3/2,1$。その間では③の $x$ が
①の $x$ より大きいので、囲まれた面積は
$$\int_{-3/2}^{1}\left\{(4-2y)- \left(y^2-\frac32y+\frac52\right)\right\}dy =\int_{-3/2}^{1}\left(\frac32-\frac12y-y^2\right)dy =\frac{125}{48}.$$
最後に②は $y=(6-x)/(x+2)$。$0\leqq x\leqq2$ では
②が③より上、両方ともx軸より上にある。回転断面は外半径が②、
内半径が③の円環であるから
$$\frac{V}{\pi}=\int_0^2 \left\{\left(\frac{6-x}{x+2}\right)^2- \left(2-\frac{x}{2}\right)^2\right\}dx.$$
$u=x+2$ と置くと
$$\frac{V}{\pi}=\int_2^4 \left(\frac{64}{u^2}-\frac{16}{u}-8+3u-\frac{u^2}{4}\right)du =\left[-\frac{64}{u}-16\log u-8u+\frac32u^2-\frac{u^3}{12}\right]_2^4 =\frac{40}{3}-16\log_e2.$$
従って空欄は
$$\boxed{\begin{aligned} &\text{け}=3,\text{こ}=2,\text{さ}=5,\text{し}=2,\text{す}=2,\\ &\text{せそ}=11,\text{たち}=32,\text{つ}=1,\text{て}=2,\text{と}=2,\\ &\text{なにぬ}=125,\text{ねの}=48,\text{まみ}=40,\text{む}=3,\\ &\text{めも}=16,\text{や}=2. \end{aligned}}$$