1鹿児島大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) 4個の目のうち、3個で一致する目を6通りに選ぶ。一致する3個のサイコロの選び方は ${}_{4}\mathrm{C}_{3}=4$ 通りで、残り1個はその目以外の5通り。したがって
$$\frac{6\cdot{}_{4}\mathrm{C}_{3}\cdot5}{6^4}=\frac{120}{1296}=\frac5{54}.$$
(2) まず右辺 $7-x$ が0以上である必要がある。絶対値の不等式を上下に分けると
$$-(7-x)\leqq x^2+6x-1\leqq7-x.$$
右側は $x^2+7x-8\leqq0$、すなわち $-8\leqq x\leqq1$。左側は
$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\geqq0$$
なので $x\leqq-3$ または $x\geqq-2$。これらを合わせると
$$-8\leqq x\leqq-3\quad\text{または}\quad-2\leqq x\leqq1.$$
(3) $3.2^2=10.24<11$ と $\pi<3.2$ から $\pi<\sqrt{11}$。底が11の対数は増加するので
$$\log_{11}\pi<\log_{11}\sqrt{11}=\frac12.$$
また正の数の4乗を比べれば $(1/2)^4=1/16<1/8$ より
$$\frac12<\sqrt[4]{\frac18}.$$
したがって小さい順は
$$\log_{11}\pi<\frac12<\sqrt[4]{\frac18}.$$

(1) 3個で同じ目を先に選び、残る1個がその目と異なる場合だけを数えて全事象で割る。(2) 右辺が非負の条件と、絶対値を挟む2不等式の共通部分を取る。(3) 与えられた $\pi$ の上界から $\pi<\sqrt{11}$ を示し、対数の単調性で対数項と $\frac12$ を比べる。最後は正数の4乗を比較する。