3旭川医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

問題3

$r=\sqrt3$ とおき、$B=(0,0),\ C=(r,0)$ とする。正弦定理により
$$BC=2\sin60^\circ=r,\qquad AC=2\sin45^\circ=\sqrt2,\qquad AB=2\sin75^\circ=\frac{\sqrt2(r+1)}2.$$
$\angle ABC=45^\circ$ だから
$$A=\left(\frac{r+1}{2},\frac{r+1}{2}\right).$$
角の二等分線定理から
$$BD:DC=AB:AC=\frac{r+1}{2}:1.$$
$BC=r$ をこの比に分けると $BD=1,\ DC=r-1$ となる。従って $D=(1,0)$。

外接円の中心は $(r/2,1/2)$、半径は1なので、その方程式は
$$x^2+y^2-rx-y=0.$$
$AD$ の傾きは $r+2$ で、直線 $AD$ とこの円との交点は $A$ と
$$P=\left(\frac r2,-\frac12\right)$$
である。

問1
以上から
$$BD=1,\qquad CD=\sqrt3-1.$$

問2
$\overrightarrow{DB}=(-1,0)$、$\overrightarrow{DP}=(r/2-1,-1/2)$ だから
$$\tan\angle BDP=\frac{1/2}{1-r/2}=\frac1{2-r}=2+r=\tan75^\circ.$$
よって $\angle BDP=75^\circ$、条件から $\angle CLP=75^\circ$。

また $C$ から見ると $\angle ACB=75^\circ$、$\overrightarrow{CB}$ と
$\overrightarrow{CP}=(-r/2,-1/2)$ のなす角は $30^\circ$ なので
$\angle ACP=105^\circ$。もし $L$ が $C$ から $A$ 側にあれば
$\angle LCP=105^\circ$ となり、三角形 $CLP$ の内角和に反する。従って $L$ は $C$ の先にある。このとき $\angle LCP=75^\circ$ となるため、$\angle CLP=\angle LCP$ より $PL=PC=1$。

直線 $AC$ は $y=-(r+2)(x-r)$。この直線と中心 $P$、半径1の円との交点のうち $C$ でない方は
$$L=\left(1+\frac r2,-\frac12\right).$$
従って直線 $LD$ の傾きは $-1/r$ である。$AB$ は $y=x$ だから、直線 $LD$ との交点 $M$ は
$$M=\left(\frac{r-1}{2},\frac{r-1}{2}\right).$$
よって
$$\tan\angle BDM =\frac{(r-1)/2}{1-(r-1)/2} =\frac{r-1}{3-r} =\frac1r=\tan30^\circ,$$
したがって $\angle BDM=30^\circ$。

問3
直線 $CP$ は $y=(x-r)/r$、直線 $LD$ は $y=(1-x)/r$ である。$LM$ は $LD$ と同じ直線なので、$CP$ との交点 $N$ は
$$N =\left(\frac{r+1}{2},\frac{r-3}{6}\right).$$
$s=(r-1)/2,\ t=(r+1)/2,\ n=(r-3)/6$ とおくと
$$M=(s,s),\quad B=(0,0),\quad P=(r/2,-1/2),\quad N=(t,n),\quad A=(t,t),\quad C=(r,0).$$
頂点を順に並べる座標多角形の面積公式から
$$\begin{aligned} 2[MBPN] &=\left|\frac{rn+t}{2}+s(t-n)\right| =\frac12+\frac r3=\frac{3+2r}{6},\\ 2[AMNC] &=|s(n-t)-rn+rt| =1+\frac{2r}{3}=\frac{3+2r}{3}. \end{aligned}$$$$2[MBPN]=\left|\frac{rn+t}{2}+s(t-n)\right|=\frac{1}{2}+\frac{r}{3}=\frac{3+2r}{6},$$$$2[AMNC]=|s(n-t)-rn+rt|=1+\frac{2r}{3}=\frac{3+2r}{3}.$$
従って
$$[MBPN]=\frac{3+2r}{12},\qquad [AMNC]=\frac{3+2r}{6}, \qquad [MBPN]:[AMNC]=1:2.$$