4滋賀医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

問題文の $\log$ は自然対数とする。

(1)

$x=0$ を積分方程式に代入して
$$f(0)=1.$$

(2)

微積分の基本定理により
$$f'(x)=e^{x}(1+x)f(x).$$
$f(x)>0$ なので対数を微分でき、
$$(\log f(x))'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}=e^{x}(1+x).$$

(3)

$xe^{x}$ の導関数は $e^{x}(1+x)$ であるから、これを $0$ から $x$ まで積分すると
$$\log f(x)-\log f(0)=xe^{x}.$$
$f(0)=1$ より
$$f(x)=e^{xe^{x}}.$$

(4)

最後の方程式は
$$xe^{x}=-\dfrac{\log2}{2}$$
である。$x=-\log4$ と $x=-\log2$ はどちらもこれを満たす。$h(x)=xe^{x}$ とおくと $h'(x)=e^{x}(1+x)$ であり、$h$ は $x<-1$ で減少し、$x>-1$ で増加する。さらに $\log4>1>\log2$ だから、二つの候補はそれぞれ $-1$ の左と右にある。各区間での単調性から、他の解はない。