3金沢大学 2025年 数学 第3問解答・解説

$L=\log2$ とおく。$0\leqq x\leqq L/2$ では両曲線は正で $e^x\geqq2-e^{2x}$ だから回転断面は円環で面積 $\pi\{e^{2x}-(2-e^{2x})^2\}$。$L/2\leqq x\leqq2L$ では領域が $x$ 軸をまたぐ。断面半径は $\max(e^x,e^{2x}-2)$ であり，両者の大小は $e^x=e^{2x}-2$，すなわち $x=L$ で入れ替わる。よって
$$\frac V\pi=\int_0^{L/2}\{e^{2x}-(2-e^{2x})^2\}\,dx+\int_{L/2}^{L}e^{2x}\,dx+\int_L^{2L}(e^{2x}-2)^2\,dx.$$
3つの積分は順に $7/4-2L$, $1$, $36+4L$。従って
$$V=\pi\left(\frac{155}{4}+2\log2\right).$$