IV関西医科大学 2023年 数学 第IV問解答・解説

問題② (1)

点 $P=(x,y)$ から $A=(3,0)$、$B=(-3,0)$ までの距離の積を
$$D(x,y)=\sqrt{(x-3)^2+y^2}\sqrt{(x+3)^2+y^2}$$
とおく。すると
$$D(-x,y)=D(x,y),\qquad D(x,-y)=D(x,y).$$
したがって $D(x,y)=12$ を満たす点を $x$ 軸または $y$ 軸について反転した点も同じ等式を満たす。ゆえに $C$ は両軸に関して対称である。

問題② (2)

$x$ 軸上では $y=0$ だから、条件は
$$|x-3|\,|x+3|=|x^2-9|=12.$$
よって $x^2-9=12$ または $x^2-9=-12$。前者から $x^2=21$、後者から $x^2=-3$ となるが、後者は実数解をもたない。したがって交点は
$$\boxed{(\sqrt{21},0),\quad(-\sqrt{21},0)}.$$

問題② (3)

$x+\sqrt{x^2+4}>0$ はすべての実数 $x$ で成り立つので、$f$ は定義される。連鎖律より
$$\begin{aligned} f'(x) &=\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}}{x+\sqrt{x^2+4}}\\ &=\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{\sqrt{x^2+4}\left(x+\sqrt{x^2+4}\right)} =\boxed{\frac1{\sqrt{x^2+4}}}. \end{aligned}$$$$f^{\prime }(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}{x+\sqrt{x^2+4}}$$$$=\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{\sqrt{x^2+4}\left(x+\sqrt{x^2+4}\right)}=\boxed{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}.$$
ここで $\log$ は自然対数である。

また、
$$\frac{d}{dx}\left(x\sqrt{x^2+4}+4f(x)\right) =\sqrt{x^2+4}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+4}}+\frac4{\sqrt{x^2+4}} =2\sqrt{x^2+4}.$$
したがって
$$\boxed{\int 2\sqrt{x^2+4}\,dx =x\sqrt{x^2+4}+4\log\left(x+\sqrt{x^2+4}\right)+C}.$$

問題② (4)

条件を2乗して整理する。$v=y^2$ とおくと
$$\begin{aligned} &\bigl((x-3)^2+y^2\bigr)\bigl((x+3)^2+y^2\bigr)=144\\ &\quad\text{すなわち}\quad (x^2+y^2+9)^2-36x^2=144\\ &\quad\text{すなわち}\quad v^2+(2x^2+18)v+x^4-18x^2-63=0. \end{aligned}$$$$((x-3{)}^2+y^2\left)\right((x+3{)}^2+y^2)=144$$$$\text{すなわち}(x^2+y^2+9{)}^2-36x^2=144$$$$\text{すなわち}{v}^2+(2x^2+18)v+x^4-18x^2-63=0.$$
この二次方程式の解は
$$v=-x^2-9\pm6\sqrt{x^2+4}.$$
マイナスを選んだ解は負なので、曲線上では
$$y^2=g(x):=6\sqrt{x^2+4}-x^2-9.$$
$u=x^2\geqq0$ とおくと、$g(x)\geqq0$ は両辺が非負であることから
$$6\sqrt{u+4}\geqq u+9 \quad\text{すなわち}\quad 36(u+4)\geqq(u+9)^2 \quad\text{すなわち}\quad (u-21)(u+3)\leqq0 \quad\text{すなわち}\quad 0\leqq u\leqq21.$$
よって $-\sqrt{21}\leqq x\leqq\sqrt{21}$。内部では上の二次式が $0$ 以下となり、その二根のうち一つは負、もう一つが $g(x)$ である。したがって、固定した $x$ で許される非負の $v=y^2$ は $0\leqq v\leqq g(x)$ である。この範囲で囲まれた図形の各 $x$ における断面は、$x$ 軸を中心とする半径 $\sqrt{g(x)}$ の円盤である。したがって回転体の体積は
$$V=\pi\int_{-\sqrt{21}}^{\sqrt{21}} \left(6\sqrt{x^2+4}-x^2-9\right)\,dx.$$
(3) の原始関数を用いると、被積分関数の原始関数は
$$F(x)=3x\sqrt{x^2+4} +12\log\left(x+\sqrt{x^2+4}\right)-\frac{x^3}{3}-9x.$$
$L=\sqrt{21}$ とおけば $\sqrt{L^2+4}=5$、また
$$\log\frac{L+5}{5-L} =2\log\frac{L+5}{2}$$
（$(L+5)(5-L)=25-L^2=4$）なので
$$\begin{aligned} F(L)-F(-L) &=12L-\frac{2L^3}{3} +12\log\frac{L+5}{5-L}\\ &=-2L+24\log\frac{L+5}{2}. \end{aligned}$$$$F(L)-F(-L)=12L-\frac{2L^3}{3}+12\log \frac{L+5}{5-L}$$$$=-2L+24\log \frac{L+5}{2}.$$
よって
$$\boxed{V=24\pi\log\left(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)-2\pi\sqrt{21}}.$$

- (1) $C$ は $x$ 軸・$y$ 軸の双方に関して対称。
- (2) $(\sqrt{21},0),\ (-\sqrt{21},0)$
- (3) $f'(x)=\dfrac1{\sqrt{x^2+4}}$、$\displaystyle\int2\sqrt{x^2+4}\,dx=x\sqrt{x^2+4}+4\log(x+\sqrt{x^2+4})+C$
- (4) $\displaystyle 24\pi\log\left(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)-2\pi\sqrt{21}$