2香川大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1) $P=(x,y)$ とおく。距離は非負なので $OP=mAP$ とその二乗は同値であり，
$$x^2+y^2=m^2\{(x-1)^2+y^2\}.$$
$m^2-1>0$ で割って平方完成すると
$$\left(x-\frac{m^2}{m^2-1}\right)^2+y^2 =\frac{m^2}{(m^2-1)^2}.$$
従って中心は $\boxed{(m^2/(m^2-1),0)}$，半径は $\boxed{m/(m^2-1)}$。

(2) 弦 $OA$ の長さは1である。円周角 $\theta$ に対する正弦定理より外接円半径は $\rho=1/(2\sin\theta)$。
中心は弦の垂直二等分線 $x=1/2$ 上にあり，その $y$ 座標の絶対値は
$$\sqrt{\rho^2-1/4}=\frac{\cos\theta}{2\sin\theta}.$$
正のものを選ぶから，$C_2$ の中心と半径は
$$\boxed{\left(\frac12,\frac{\cos\theta}{2\sin\theta}\right),\qquad \rho=\frac1{2\sin\theta}}.$$
この円の上半平面にある弧では $\angle OQA=\theta$ であり，$OA$ より下の短い弧では補角になる。従って指定された $R$ では $\angle ORA=\theta$。

(3) $AR=l>0$ とおけば $OR=ml$。余弦定理から
$$1=l^2(m^2+1-2m\cos\theta).$$
$D=m^2+1-2m\cos\theta=(m-1)^2+2m(1-\cos\theta)>0$ と書くと $l^2=1/D$。
よって三角形の面積は
$$\boxed{\frac12(ml)l\sin\theta=\frac{m\sin\theta}{2D}}.$$

(4) $R=(X,Y)$，$Y>0$ とおく。(3)の面積は $Y/2$ だから $Y=m\sin\theta/D$。
また $OR^2-AR^2=2X-1=(m^2-1)l^2$ なので
$$\boxed{R=\left(\frac{m^2-m\cos\theta}{D},\frac{m\sin\theta}{D}\right), \qquad D=m^2+1-2m\cos\theta}.$$
検算としてこの座標は $OR^2=m^2/D,AR^2=1/D$ を満たし，$C_2$ の式
$X^2+Y^2-X-\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}Y=0$ にも代入して0となる。$Y>0$ も満たす。