3浜松医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

指数関数と多項式の差を置いて微分と数学的帰納法で (1) を示し、外接正12角形を中心からの12個の三角形に分けて (2) を計算する。(1) の n=3 と (2) の面積評価を合わせて (3) を示す。

(1)

$F_{0}(x)=e^{x}-1$、$F_{n}(x)=e^{x}-\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^{k}}{k!}\ (n\geqq 1)$ とおく。指数関数は増加関数であるから、$x\geqq 0$ では $F_{0}(x)=e^{x}-1\geqq 0$ である。また、$n\geqq 1$ について
$$F_{n}'(x)=e^{x}-\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k-1}}{(k-1)!}=F_{n-1}(x),\qquad F_{n}(0)=0.$$
$F_{n-1}(x)\geqq 0$ がすべての $x\geqq 0$ で成り立つと仮定すると、$F_{n}'(x)\geqq 0$ なので $F_{n}$ は $x\geqq 0$ の範囲で増加し、$F_{n}(x)\geqq F_{n}(0)=0$ となる。よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ と $x\geqq 0$ について所要の不等式が成り立つ。

(2)

円の中心を $\mathrm{O}$、正 12 角形の隣り合う頂点を $\mathrm{A},\mathrm{B}$、辺 AB の中点を $\mathrm{M}$ とする。中心角は $30^{\circ}$ であり、接点への半径は接線に垂直だから $\mathrm{OM}=1$、$\angle\mathrm{AOM}=15^{\circ}$ である。したがって
$$\mathrm{AM}=\mathrm{OM}\tan 15^{\circ}=\tan 15^{\circ},\qquad \mathrm{AB}=2\tan 15^{\circ}.$$
加法定理より
$$\tan 15^{\circ}=\tan(45^{\circ}-30^{\circ})=\dfrac{1-1/\sqrt{3}}{1+1/\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}.$$
正 12 角形は、底辺が $\mathrm{AB}$、高さが $\mathrm{OM}=1$ の三角形 12 個に分けられるので、その面積は
$$12\cdot\dfrac{1}{2}\,\mathrm{AB}\cdot 1=12\tan 15^{\circ}=24-12\sqrt{3}.$$

(3)

半径 1 の円はこの正 12 角形の内部にあるから、円の面積より
$$\pi<24-12\sqrt{3}.$$
また、(1) で $x=1,\ n=3$ とすると
$$e\geqq 1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{8}{3}.$$
よって、$\sqrt{3}>1.73$ を用いて
$$\pi-e<24-12\sqrt{3}-\dfrac{8}{3}=\dfrac{64}{3}-12\sqrt{3}<\dfrac{64}{3}-12\cdot 1.73=\dfrac{43}{75}<\dfrac{3}{5}.$$
したがって $\pi-e<\dfrac{3}{5}$ である。