5群馬大学 2025年 数学 第5問解答・解説

解説
正の交点では $x>1$。直線と曲線の交点は $\phi(x)=\log x/x^2$ の水平線との交点である。$\phi$ は $x=\sqrt e$ で唯一の最大値 $1/(2e)$ を取るため、正の共有点がただ1つという条件はこの高さで接することを意味する。

曲線は $x=1$ で $x$ 軸を横切る。囲まれた領域は、原点から接点までの直線下の三角形から、$1$ から接点までの曲線下の部分を引いて求められる。直線下の面積は $1/4$、曲線下の面積は $1/8$ なので、差は $1/8$。

答え
$k=1/(2e)$、共有点は $(\sqrt e,1/(2\sqrt e))$、囲まれた面積は $1/8$。