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群馬大学／2025年度

1群馬大学 2025年 数学 第1問解答・解説

場合の数と確率数列二次関数

1問題

群馬大学2025年度第1問
n を自然数とする。整数の組 (x,y)(x, y) で表される座標平面上の点で、次の条件を満たすものの個数をそれぞれ求めよ。

(1) 3 点 (0,0)(0,0) , (n,0)(n,0) , (0,2n)(0,2n) を頂点とする三角形の辺上または内部にある。

(2) 連立不等式 {y≦n2y≧x24\left\{\begin{aligned} y & \leqq n^{2} \\ y & \geqq \dfrac{x^{2}}{4}\end{aligned}\right. で表される領域に含まれ、かつ x≧0x \geqq 0 を満たす。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    (n+1)2(n+1)^{2}。
  • (2)
    8n3+3n2+7n+66\dfrac{8n^{3}+3n^{2}+7n+6}{6}。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

整数 xx は 0≦x≦n0\leqq x\leqq n を満たす。各 xx に対し 0≦y≦2n−2x0\leqq y\leqq 2n-2x なので、
∑x=0n(2n−2x+1)=∑j=0n(2j+1)=(n+1)2. \displaystyle\sum_{x=0}^{n}(2n-2x+1)=\sum_{j=0}^{n}(2j+1)=(n+1)^{2}.

(2)

x≧0x\geqq0 かつ x24≦y≦n2\dfrac{x^{2}}{4}\leqq y\leqq n^{2} だから 0≦x≦2n0\leqq x\leqq 2n。整数 xx を固定し、x24\dfrac{x^{2}}{4} 以上で最小の整数を cxc_{x} とすると、yy の個数は n2−cx+1n^{2}-c_{x}+1 である。ここで x=2k (0≦k≦n)x=2k\ (0\leqq k\leqq n) なら cx=k2c_{x}=k^{2}、x=2k+1 (0≦k≦n−1)x=2k+1\ (0\leqq k\leqq n-1) なら cx=k2+k+1c_{x}=k^{2}+k+1 となる。よって
∑x=02ncx=∑k=0nk2+∑k=0n−1(k2+k+1)=4n3+3n2+5n6. \begin{aligned} \sum_{x=0}^{2n}c_{x} &=\sum_{k=0}^{n}k^{2}+\sum_{k=0}^{n-1}(k^{2}+k+1)\\ &=\dfrac{4n^{3}+3n^{2}+5n}{6}. \end{aligned}
したがって点の個数は
∑x=02n(n2−cx+1)=(2n+1)(n2+1)−4n3+3n2+5n6=8n3+3n2+7n+66. \sum_{x=0}^{2n}\left(n^{2}-c_{x}+1\right) =(2n+1)(n^{2}+1)-\dfrac{4n^{3}+3n^{2}+5n}{6} =\dfrac{8n^{3}+3n^{2}+7n+6}{6}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 和の法則
  • 総和記号と数列の和
  • 二次不等式とグラフ

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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