3群馬大学 2023年 数学 第3問解答・解説

大問 3

底面 $\mathrm{OABC}$ は平行四辺形なので、$\mathrm{O}$ を原点とする $\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$、$\vec{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ を基底として点を表す。四角錐が退化しないので、$\vec{a},\vec{c},\vec{d}$ は一次独立である。

(1)

X は BD を 2:1 に内分するから
$$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\dfrac{\vec{a}+\vec{c}+2\vec{d}}{3}.$$
Y は直線 OX 上にあるので $\overrightarrow{\mathrm{OY}}=t\,\overrightarrow{\mathrm{OX}}$ とおく。また、平面 ACD 上の点は $\vec{a},\vec{c},\vec{d}$ の係数の和が 1 である。よって
$$\dfrac{t}{3}+\dfrac{t}{3}+\dfrac{2t}{3}=1$$
したがって $t=\dfrac{3}{4}$ である。ゆえに
$$\overrightarrow{\mathrm{OY}}=\dfrac{1}{4}\vec{a}+\dfrac{1}{4}\vec{c}+\dfrac{1}{2}\vec{d}.$$

(2)

$u=\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{CD}}$ とおくと $0\leqq s,\,u\leqq 1$ であり、P, Q は
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\vec{a}+s\vec{d},\qquad \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-u)\vec{c}+u\vec{d}$$
と表せる。基底 $\vec{a},\vec{c},\vec{d}$ に関する係数で書くと、$\mathrm{P}=(1-s,\,0,\,s)$、$\mathrm{Q}=(0,\,1-u,\,u)$ である。また $\mathrm{X}=\left(\dfrac{1}{3},\,\dfrac{1}{3},\,\dfrac{2}{3}\right)$ である。原点を通る平面 OXP の方程式を $\alpha x+\beta y+\gamma z=0$ とする。X, P を代入すると、例えば
$$sx+(2-3s)y-(1-s)z=0$$
を得る。したがって Q がこの平面上にある条件は
$$(2-3s)(1-u)-(1-s)u=0,\qquad \text{すなわち}\qquad (3-4s)u=2-3s$$
である。
$s=\dfrac{3}{4}$ では右辺が $-\dfrac{1}{4}$ であるため解がなく、それ以外では
$$u=\dfrac{2-3s}{3-4s}.$$
$0\leqq s,\,u\leqq 1$ を満たす範囲を調べる。$0\leqq s\leqq\dfrac{2}{3}$ ではこの式は $0\leqq u\leqq 1$ を満たす。$\dfrac{2}{3}<s<\dfrac{3}{4}$ では $u<0$、$\dfrac{3}{4}<s<1$ では $u>1$ となり、$s=1$ のときだけ $u=1$ である。よって
$$0\leqq s\leqq\dfrac{2}{3}\quad\text{または}\quad s=1.$$
なお $s=1$ では $\mathrm{P}=\mathrm{Q}=\mathrm{D}$ となる。

(3)

底面の正方形の対角線は $\mathrm{AC}=\sqrt{2}$、かつ $\mathrm{DA}=\mathrm{DC}=1$ である。余弦定理から
$$\cos\angle\mathrm{ADC}=\dfrac{\mathrm{DA}^{2}+\mathrm{DC}^{2}-\mathrm{AC}^{2}}{2\,\mathrm{DA}\cdot\mathrm{DC}}=0,$$
したがって $\mathrm{DA}\perp\mathrm{DC}$ である。$s=1$ は $\mathrm{P}=\mathrm{Q}=\mathrm{D}$ で三角形 DPQ を作らないため、三角形の面積を考える範囲は $0\leqq s\leqq\dfrac{2}{3}$ である。このとき
$$\mathrm{DP}=1-s,\qquad \mathrm{DQ}=1-u=\dfrac{1-s}{3-4s},$$
ゆえに
$$\triangle\mathrm{DPQ}=\dfrac{1}{2}\mathrm{DP}\cdot\mathrm{DQ}=\dfrac{(1-s)^{2}}{2(3-4s)}.$$
ここで $3-4s>0$ であり、
$$\triangle\mathrm{DPQ}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{(2s-1)^{2}}{8(3-4s)}\geqq 0.$$
等号は $s=\dfrac{1}{2}$ のとき成立する（このとき $u=\dfrac{1}{2}$）。したがって
$$\boxed{\triangle\mathrm{DPQ}\text{ の最小値は }\dfrac{1}{8}}.$$