5群馬大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1)

直線 $x=a$ で切ると、$(ye^{a})^{2}\leqq(\sin 2a)^{2}$ から $-e^{-a}|\sin 2a|\leqq y\leqq e^{-a}|\sin 2a|$ となる。よって $l(a)=2e^{-a}|\sin 2a|$（$0\leqq a\leqq\pi$）である。
$0<a<\dfrac{\pi}{2}$ では $h(a)=e^{-a}\sin 2a$ とおくと、$h'(a)=e^{-a}(2\cos 2a-\sin 2a)$ である。$2a\geqq\dfrac{\pi}{2}$ ならこの導関数は負であり、$0<2a<\dfrac{\pi}{2}$ では $\tan 2a=2$ が唯一の零点で、導関数は正から負へ変わる。したがって前半の最大は、$\tan 2a_{0}=2$（$0<2a_{0}<\dfrac{\pi}{2}$）を満たす $a_{0}$ でとられる。後半では $l\left(a+\dfrac{\pi}{2}\right)=e^{-\dfrac{\pi}{2}}\,l(a)<l(a)$ なので、全体の最大点も $a_{0}$ である。
$t=\tan a_{0}$ とすると $0<t<1$ であり、倍角公式から $2=\dfrac{2t}{1-t^{2}}$、すなわち $t^{2}+t-1=0$ である。正の解をとり、$\tan a_{0}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ である。

(2)

領域の面積は縦断面長の積分なので、$S=2\displaystyle\int_{0}^{\pi}e^{-x}|\sin 2x|\,dx$ である。前半を $I_{1}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}e^{-x}\sin 2x\,dx$ とする。$I=\displaystyle\int e^{-x}\sin 2x\,dx$、$J=\displaystyle\int e^{-x}\cos 2x\,dx$ とおき、部分積分をすると $I=-\dfrac{1}{2}e^{-x}\cos 2x-\dfrac{J}{2}$、$J=\dfrac{1}{2}e^{-x}\sin 2x+\dfrac{I}{2}$ である。これを合わせると、$I$ の原始関数 $F(x)=\dfrac{e^{-x}(-\sin 2x-2\cos 2x)}{5}$ を得る。したがって $I_{1}=F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-F(0)=\dfrac{2(1+e^{-\pi/2})}{5}$ である。
後半 $I_{2}=\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi}e^{-x}(-\sin 2x)\,dx$ は、$x=u+\dfrac{\pi}{2}$ と置くと $e^{-\pi/2}I_{1}$ となる。よって $S=2(I_{1}+I_{2})=\dfrac{4}{5}\left(1+e^{-\pi/2}\right)^{2}$ である。