1群馬大学 2023年 数学 第1問解答・解説

絶対値の距離和の等号条件を使い、奇数乗・偶数乗の単調性でxの範囲に戻す。

実数 $A<B$ に対し、$|t-A|+|t-B|=B-A$ となるのは $A\leqq t\leqq B$ のときに限る。実際、この区間内では和は $(t-A)+(B-t)=B-A$ であり、$t<A$ なら和は $(A-t)+(B-t)>B-A$、$t>B$ なら和は $(t-A)+(t-B)>B-A$ である。よって、2点 $A,B$ の順序によらず、$|t-A|+|t-B|=|A-B|$ の解は $t$ が $A,B$ の間にあることと同値である。

(1) 実数 $x_1<x_2$ に対し $x_1^3<x_2^3$ が成り立つから、$x^3$ が $a^3,b^3$ の間にあることは $x$ が $a,b$ の間にあることと同値である。したがって
$$\min(a,b)\leqq x\leqq\max(a,b).$$

(2) $n$ は正の偶数なので $a^n=|a|^n,\ b^n=|b|^n$ であり、条件 $|a|<|b|$ から $0<a^n<b^n$ である。上の同値条件より、与式は $a^n\leqq x^n\leqq b^n$ と同値である。また $x^n=|x|^n$ で、$0\leqq u_1<u_2$ ならば $u_1^n<u_2^n$ が成り立つから、$|a|\leqq|x|\leqq|b|$。よって解は
$$-|b|\leqq x\leqq-|a|\quad\text{または}\quad |a|\leqq x\leqq|b|,$$
であり、いずれの範囲も両端を含む。