4群馬大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) 対数と変数の商の減少性で示す。(2) (1)で最初の2数を比較し、平方根と整数累乗の厳密評価で残りの比較を行う。

(1) $f(t)=\dfrac{\log t}{t}$ とおくと、$t\geqq e$ では
$$f'(t)=\frac{1-\log t}{t^2}\leqq0,$$
等号は $t=e$ のときだけである。したがって $f$ は $t\geqq e$ の範囲で減少する。$e\leqq x<y$ より
$$\frac{\log x}{x}>\frac{\log y}{y}.$$
$x,y>0$ を掛ければ $y\log x>x\log y$ を得る。

(2) $A=3^{2\sqrt2\pi}$、$B=\pi^{6\sqrt2}$、$C=2^{\frac92\pi}$ とおく。$e<3<\pi$ だから (1) を $x=3,y=\pi$ に適用すると
$$\pi\log3>3\log\pi.$$
両辺に $2\sqrt2$ を掛けて指数関数を用いれば $A>B$。

次に $\sqrt2<17/12$（$2<289/144$）かつ
$$3^{17}=129140163<134217728=2^{27}$$
より
$$3^{4\sqrt2}<3^{17/3}<2^9.$$
両辺を正の指数 $\pi/2$ 乗して $A<C$ を得る。従って大小関係は
$$\pi^{6\sqrt2}<3^{2\sqrt2\pi}<2^{\frac92\pi}.$$